REGULARIDADES NUMÉRICAS. NÚMEROS CUADRADOS

Números cuadrados

Pitágoras, matemático griego que vivió entre 572 y 500 antes de Cristo, basó todos sus trabajos matemáticos en el estudio de los números pero no contaba con un sistema de numeración, es decir, no tenía manera de hacer cuentas. Él trabajaba los números disponiendo piedritas, formando figuras geométricas. De esa forma consideraba números triangulares, rectangulares, etcétera.
En este artículo veremos cómo podemos relacionar los números cuadrados de Pitágoras con los contenidos de la EGB y las herramientas didácticas que podemos obtener de ellos.

La fuerza de la imagen
Estos son números cuadrados de Pitágoras. De izquierda a derecha, el cuadrado de 2, de 5 y de 6.

Nosotros llamamos 4, 25 y 36 a esos números respectivamente. Aunque en nuestros días ya nadie trabaja la aritmética con los números figurados de Pitágoras, los números cuadrados han perdurado en el sentido de que calculamos cuadrados, decimos, por ejemplo, el cuadrado de 5 y lo escribimos así: 52. Lo que se intenta rescatar en ayuda a la clase de matemática es que “cuadrado” de la potenciación no tiene por qué estar disociado de “cuadrado” de la clase de geometría.
La propuesta es tomar la fuerza de la imagen de los números cuadrados de Pitágoras en beneficio de la construcción de los aprendizajes de la potenciación con exponente 2 y del cálculo de superficies de figuras geométricas en general y de cuadrados en particular.

Números cuadrados para chicos entre 5 y 8 años

Los chicos de primer ciclo pueden armar números cuadrados con porotos o piedritas. En esta actividad se trata de contar y calcular sin perder de vista las formas geométricas. Esta última afirmación no es ingenua, en realidad, los chicos de primer ciclo son muy capaces de reconocer figuras cuadradas, y por eso debemos aprovechar para trabajar la idea de número cuadrado.
La idea es proponer a los chicos armar, con porotos o piedritas, números cuadrados y después contarlos con el sistema de numeración decimal. Por ejemplo, el número cuadrado

es 16 escrito en sistema decimal.

Dicho de otra forma, con las piedritas que forman ese número cuadrado, se puede formar un montón de diez (una decena) y sobran 6 unidades.





Algunos problemas para trabajar en el aula:

1.-¿Cuántos cuadraditos faltan en la figura? Explica cómo lo resolviste
2.- Trabaja con botones, monedas o tapitas.
Dispone los mismos formando cuadrados como se muestran:

a.- ¿Cuántos usaste en cada caso?
b.- ¿Cuántos botones, monedas o tapitas necesitas para formar el próximo cuadrado?
c.- ¿Podremos formar un cuadrado con 6 tapitas? ¿y con 25 tapitas? ¿y con 12 tapitas?
d.- Tengo 45 botones, ¿cuál es el mayor número cuadrado que puedo formar? ¿Cuál es la mínima cantidad de botones que tengo que agregar para formar el próximo cuadrado?
e.- Dibuja en papel cuadriculado, los diagramas correspondientes a todos los números cuadrados entre 30 y 70.

Números cuadrados y multibase
El material multibase es especial para trabajar los números en sistema decimal. En cuanto a los números cuadrados, el multibase chato de color, es muy apropiado para formarlos con los cuadraditos azules que representan las unidades.
Además de formar los números cuadrados, los chicos pueden “traducir” a sistema decimal con solo canjear montones de diez unidades por una decena. El número cuadrado anterior, es decir, el cuadrado de lado 4 es 16.

En este sentido, ya para el tercer año, los números cuadrados y su traducción a sistema decimal darán lugar a cálculos y también a la construcción de tablas de cuadrados de 1 a 9.

Números cuadrados para chicos entre 9 y 12 años

Los alumnos de segundo ciclo deberán empezar con actividades de cálculo de las que se proponen para el primer ciclo si no lo han hecho anteriormente, para luego encarar actividades más complejas como las siguientes.

Cuadrados y multibase
Con multibase chato de color se pueden calcular números cuadrados. En la figura se ven el cuadrado de 24 a la izquierda, y el cuadrado de 13 a la derecha.

Estas figuras son por demás elocuentes para observar qué simple aparece el cálculo de cuadrados con multibase. A la izquierda, el cuadrado de 24 es 576 y, a la derecha, el cuadrado de 13 es 169. El trabajo con estos cálculos de cuadrados con apoyo visual va construyendo aprendizajes en los chicos de modo que, en un momento, ellos se vuelven capaces de calcular cuadrados de números con sólo imaginar la figura.

La raíz cuadrada
El cálculo de números cuadrados lleva implícito el concepto de raíz cuadrada. Es que el número cuadrado 25 tiene cinco piedritas en cada lado, es por eso que 5 es la raíz cuadrada de 25.
Esta manera de calcular permite resolver raíces cuadradas con relativa simplicidad, por ejemplo, si se trata de calcular la raíz cuadrada de 49, basta armar un número cuadrado con 49 piedritas y ver cuántas quedan en cada lado, obviamente, 7, o sea que √49 = 7

Ahora, la superficie
El cálculo de superficies es un contenido importante en segundo ciclo. Con esta secuenciación de contenidos se puede aligerar la enseñanza. En primer lugar, las unidades de medida, el metro cuadrado, sus múltiplos y submúltiplos, pueden todos asimilarse a formas cuadradas. Por eso, las equivalencias entre ellas se reducen a calcular números cuadrados. Por ejemplo, los 100 decímetros cuadrados que forman un metro cuadrado se pueden disponer en un cuadrado de 10 decímetros cuadrados de lado.
De la misma forma, como un metro equivale a 100 centímetros, un metro cuadrado contiene 10.000 centímetros cuadrados y eso se ve claramente al representar el número cuadrado de lado 100 que es, justamente, 10.000.

Números cuadrados para chicos mayores de 12 años

Cuadrados de fracciones positivas
Los números cuadrados de Pitágoras fueron pensados para números naturales. Aún así, la representación gráfica de números racionales se puede hacer con objetos que se cortan en partes iguales, por ejemplo, 3/5 es fácilmente representable con una barra que se corta en cinco partes iguales y de las cuales se toman tres. Con esa idea, en la figura que sigue se calcula el cuadrado de 3/5 que es, como sabemos, 9/25.