Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss

viernes, 23 de diciembre de 2011

SALUDOS NAVIDEÑOS

Dulce Niño de Belén, haz que penetremos con toda el alma en este profundo misterio de la Navidad. Pon en el corazón de los hombres esa paz que buscan y que tú sólo puedes dar. Ayúdales a conocerse mejor y a vivir fraternalmente como hijos del mismo Padre.

Descúbreles también tu hermosura, tu santidad y tu pureza. Despierta en su corazón el amor y la gratitud a tu infinita bondad. Únelos en tu caridad. Y danos a todos tu celeste paz. Amén.
Juan XXII
¡¡FELIZ NAVIDAD!!

domingo, 20 de noviembre de 2011

PÁGINAS PARA GENERAR EJERCICIOS DE MATEMÁTICA

Generador de cuadernillos de matemáticas (Olesur.com). Generador online de cuadernos de matemáticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (configurables), en formato PDF para imprimir. La creación de estas actividades es fácil. Basta seleccionar los valores y se creará un cuadernillo de matemáticas (cálculo) con distintas operaciones.

 Thatquiz es una aplicación que genera diversos tipos de ejercicios de matemáticas (números enteros, fracciones, geometría, medidas, unidades…), así como ejercicios de vocabulario (en inglés, español, francés y alemán) y ejercicios de geografía. (Recurso aportado por Javier Escajedo Arrese).

 Generador de operaciones matemáticas para resolver en línea (Fran Macías). Genera sumas y restas (con y sin llevar), multiplicaciones y divisiones (exactas y no exactas) y también divisiones americanas, todo ello para realizar en línea. Permite elegir el número de cifras máximo, el número de operaciones a generar y el modo de interacción (escribir con el teclado, arrastrar números o utilizar un teclado virtual). (Recurso aportado por Javier Escajedo Arrese).

 Generador de cartones de bingo de números en PDF para imprimir.

 Bingo Card Maker es un generador de cartones de 3×3 o 5×5 celdas para bingos de palabras, números, definiciones, operaciones aritméticas, preguntas y respuestas, etc. ya que cada una de las celdas que componen los cartones admite contenidos en formato texto (también eñes y tildes). El resultado se puede imprimir.

 Generador de ejercicios para aprender la hora y leer el reloj (Mamut Matemáticas). Esta aplicación genera ejercicios con imágenes de relojes para dibujar las manecillas en la hora correcta e imágenes con relojes para que los alumnos aprendan a decir la hora que marcan. También se proporciona una hoja con las soluciones.

miércoles, 9 de noviembre de 2011

¿CÓMO, ESTO TAMBIÉN ES MATEMÁTICA?

Ya podemos disfrutar de un nuevo libro de Adrián Paenza. Este ejemplar, publicado por Editorial Sudamericana, cuenta con el inconfundible toque del autor, y, como siempre,  lo puedes descargar gratuitamente

Antes del prólogo el autor afirma:
¡Todo es matemática! 
Máquinas tragamonedas, claves secretas, laberintos, 
puentes flexibles y moscas que vuelan rápido como trenes.

Si uno pregunta la solución de un problema, el conocimiento NO permanece. 
Es como si uno lo hubiera pedido prestado. 
En cambio, si lo piensa uno, es como haberlo adquirido para siempre.

A continuación... uno de los capítulos para que se te vaya abriendo el apetito:

No sé
Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”.
Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen dificultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y 
yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o “¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘dapatadas’?”. Y siguen los porqué.
En todo caso, a lo que aspiro es que concuerde conmigo en que los niños no tienen dificultades ni coflictos en cuestionar todo. Y cuando digo “todo”, quiero decir “¡todo!”.
Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las 
reglas empiezan a encorsetar.
Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. 
Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo: 
“¿Cómo?, ¿no entendés?”
“¿No sabías que era así?”
“¿Dónde estabas metido, en una burbuja?” 
“¡Es medio tonto, no entiende nada!”
O los más agraviantes aún:
“El ascensor no le llega hasta el último piso.”
“No es el cuchillo más ai lado del cajón.”
“Le faltan algunos jugadores.”
Los ejemplos abundan. En el colegio uno solamente hace las preguntas que se supone que puede hacer. Pero si uno tiene preguntas que no se corresponden ni con el tema, ni con la hora, ni con la materia ni son las esperables por el docente, entonces son derivadas o dejadas para otros momentos.
Es decir, ir a la escuela es imprescindible —obvio— pero claramente la escuela dejó de ser la única fuente de información (y la más consistente), como lo fue en un pasado no muy lejano. Y 
por eso creo que en algún momento habrá que re-pensarla. No dudo del valor INMENSO que tiene, pero requiere de adaptaciones rápidas a las nuevas realidades. Y no me refiero solamente a modificar los programas de estudio, sino a revisar las técnicas de educación que seguimos usando.
Durante muchos años, salvo a través de los padres, no había otra referencia más importante y fuente de conocimiento que ir al colegio. Sin embargo, las condiciones han cambiado mucho. 
Ahora, los medios electrónicos no están solamente reducidos a la radio y la televisión. Y no es que hoy los colegios sean prescindibles —todavía— , pero me refiero a la unicidad y posición de 
privilegio que tuvieron durante más de medio siglo.
Hoy ya no. Internet, correos electrónicos, mensajes de texto, Skype, Twitter, Facebook, teléfonos inteligentes, Blackberries, IPhones, IPods, IPads y demás han reemplazado y ocupado esos lugares de preponderancia, o por lo menos están en franca competencia.
Perdón la digresión, pero no pude evitarla. 
Sigo: todavía la sociedad, en forma implícita o explícita, condena el decir “no sé”. Siempre sostuve que la matemática que se enseña infunde miedo entre los jóvenes, especialmente en los colegios, aunque también sucede en las casas de esos mismos jóvenes por el problema que tuvieron/tienen los propios padres de esos chicos.
Pero el otro día, en una entrevista, me propusieron que pensara si lo mismo no pasa con Lengua o Historia. Y creo que no, que no es lo mismo. Me explico: ningún niño siente que es inferior si no entiende algo de Historia o de Lengua. Lo siente, sí, cuando se trata de Matemática. Allí no hay alternativa. Si uno entiende, es un “bocho” y tiene patente de inteligente, “nerd” o algo equivalente. Es más, a ese niño le están permitidas ciertas licencias 
que los otros no tienen. Y eso porque le va bien en matemática. 
Y son pocos. Digo, son pocos los niños a los cuales les va bien,  con todo lo que eso conlleva como carga por parte de los adultos.
“Le va bien.” ¿Suena raro, no? ¿Qué querrá decir que “le va  bien”? Ese niño, quizás, puede preguntar. Nadie lo va a considerar mal si cuestiona lo que pasa alrededor “porque le va bien en Matemática”. No es lo mismo que le vaya bien en Lengua o en Historia o en Geografía. Eso no, porque eso se aprende, se estudia, es cuestión de dedicarle tiempo. Con la matemática parece que eso no pasa. Es decir, la percepción generalizada que la sociedad tiene (al menos de acuerdo con mi experiencia) es que hay gente dotada y otra que no. Los dotados no necesitan mucho esfuerzo, entienden y listo. Y los otros, la gran mayoría, no importa cuánto tiempo le dediquen, o cuanto esfuerzo estén dispuestos a ofrecer, no hay caso. Algo así como que “lo que natura non da, Salamanca non presta”, con toda la brutalidad que esta frase implica Aquí, un breve paréntesis. El arte presenta también otro ángulo interesante. Si un niño tiene algunas condiciones que lo destacan en la pintura o en la música, por poner algunos ejemplos, entonces sí, ese niño está bien. Se lo acepta como “raro” (o “rara”) y puede hacer preguntas. Pero la media, la mayoría de los chicos, no. No está bien visto. Si uno pregunta, es porque no entiende o no sabe, y no queda bien exponerse como ignorante de algo. Parece como que generara vergüenza, propia y ajena.¿Por qué? ¿Por qué se supone que uno no puede preguntar? 
¿Por qué se supone que uno tiene que entender aunque uno no entienda? ¿Por qué está mal volver a preguntar algo que se supone que uno sabía pero que se olvidó? ¿Por qué? ¿Por qué no aceptar que vivimos constantemente sumergidos en una duda? 
¿Por qué no valorar la duda como motor del aprendizaje, del conocimiento?
En todo caso, pareciera que sólo aquellos que tienen la seguridad de que nada les va a pasar son los que pueden cuestionar sin sentirse minimizados o disminuidos ante los ojos del interlocutor.
Y aquí es donde conviene detenerse. Si se trata de conseguir seguridad, uno podría decir “¿seguridad de qué?”. Seguridad de que nadie lo va a considerar a uno un idiota, o un tonto. O están también aquellos a quienes no les importa tanto el qué dirán. 
Pero son los menos. La sociedad parece sólo valorar “el gran conocimiento”, la cultura enciclopedista. Algo así como la cultura de ser un gran diccionario o una enciclopedia que camina. Una sociedad que discute a la creatividad, a aquel que se sale del molde, a aquel que 
pregunta todo el tiempo, aquel que dice “no sé”, “no entiendo”. Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible. 
Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los 
pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder 
operar, hay un trecho largo. 
Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.



Por cierto, por si no conoces el resto de libros de Adrián Paenza, a continuación te dejo los enlaces:
¿Qué haces todavía aquí? ¡El libro del Dr. Adrián Paenza te espera!

sábado, 5 de noviembre de 2011

HERRAMIENTAS TICs GRATUITAS PARA GENERAR MANDALAS




Generador muy completo de dibujos caleidoscópicos estilo mandalas. Permite configurar colores, tipo de pincel, etc. y cuenta con múltiples herramientas. Para poder guardar los dibujos hay que registrarse.
http://www.myoats.com/create.aspx

Una sencilla aplicación para dibujar mandalas en línea.
http://www.freegames.hu/flash/mandala.html

sábado, 22 de octubre de 2011

EL MATEMÁTICO BAJITO QUE VIAJABA EN TRANVÍA

Homenaje a Beppo Levi, un prestigioso matemático italiano radicado en Argentina
Los tres ex alumnos que recordaron al pensador italiano Beppo Levi
Parecía más bajo que lo que era. Terminaba sus clases y tomaba el tranvía —solía viajar colgado del estribo llevando un gran portafolio—. Así se lo veía al gran matemático Beppo Levi cuando terminaba sus clases en Ingeniería por los años 40. Hizo valiosos aportes al pensamiento matemático, escribió libros y hasta hay un teorema que lleva su nombre. Sin embargo, lo que más recuerdan sus ex alumnos son su inteligencia y su humanidad.
Beppo Levi nació en Turín en 1875. A los 21 años ya se había doctorado en matemática y luego siguió una carrera exitosa en varias universidades italianas. Después vinieron la guerra y la intolerancia hacia su condición de judío. Fue perseguido y expulsado de su país cuando tenía 64 años y ya se mostraba como uno de los matemáticos más brillantes del siglo XX.
Llegó a Rosario de la mano solidaria del profesor Cortés Plá (por entonces decano de Ingeniería), quien lo invitó a radicarse en el país y a dirigir el Instituto de Matemática de la facultad. Lo hizo desde 1939 hasta 1961, cuando falleció.
A 50 años de su muerte (se cumplieron el 28 de agosto pasado), la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (UNR) decidió hacerle un homenaje. Estuvieron presentes tres de sus ex alumnos, los ingenieros Ricardo Sagristá, Moisés Chababo y Miguel Werber, que rescataron el perfil académico, de pensador y sobre todo de “hombre de bien” de Levi. Y allí el público, en gran parte compuesto por jóvenes estudiantes, conoció otro costado del gran maestro, ese que sólo pueden describir quienes recibieron sus enseñanzas cotidianas.
Pinceladas. Ricardo Sagristá fue el primero en tomar la palabra. Dijo que sus relatos llegaban como los de “un ex alumno”, anticipando de alguna manera que hablaría de un vínculo que logran construir los buenos educadores.
Y a esos relatos los definió como “pinceladas” del recuerdo de “un matemático maravilloso”. Contó que la primera vez que conoció a Levi no fue en persona, sino cuando cursaba su secundario en el Nacional Nº 2 y en una clase de psicología el profesor Demetrio García les comentó que en Rosario vivía “un matemático de primera línea, de nivel mundial”, para quien “las matemáticas eran su poesía”.
Sin embargo, Sagristá tuvo la suerte luego de ser parte de las clases. “Yo lo he visto más de una vez subir al tranvía en Pellegrini y Ayacucho con su portafolio y tomado del estribo porque siempre iba lleno”, repasó sobre la vida común de un hombre destacado.
“Tuve con él clases de Cálculos II, eran materias anuales, muy concurridas durante todo el año, muy accesibles y amenas, con acentos y modismos italianos. Cuando se retiraba del aula, las pizarras quedaban escritas de la mitad para abajo”, continuó para describir otro rasgo del maestro: su baja estatura.
Por ese entonces, en los exámenes había que sacar bolilla, asistir de saco y corbata y pasar varias horas en espera. Una testigo de esas prácticas eran las paredes ubicadas frente al aula magna donde se tomaban las pruebas: registraban demostraciones y ejercicios de los alumnos que terminaban de rendir a los que aún esperaban por entrar.
“Mi examen con Levi se dio cerca de las 8.30 de la noche. Me dijo «escriba» y me dictó un ejercicio. Comienzo a trabajar, él hace unos pasos, me detiene y me indica «ponga el dos en lugar del tres». Pude desarrollar entonces todo el ejercicio, pasé al oral y aprobé el examen”.
La actitud. Moisés Chababo lo tuvo a Levi como profesor en las materias de Cálculos I y II. En sus anécdotas también eligió enfatizar el aspecto de un educador atento a escuchar a sus estudiantes.
“Una vez un alumno rendía su última materia de la carrera, pero reprobó. Le contó a Levi que por razones familiares debía aprobar. El intercedió ante los demás profesores y consiguió que le dieran otro tema. No sé qué pasó después, pero lo que vale es la actitud que tuvo como profesor”, rescató.
Chababo trajo otra imagen  cuando recordó un hecho más que ilustrativo de la figura del matemático: “Durante un fin de año que se tomaban varios exámenes al mismo tiempo, Levi sentía que en el salón de al lado un profesor no se cansaba de gritarle a un alumno diciéndole que no sabía nada. Eso lo puso mal, hasta que se cansó y se dirigió al profesor y le dijo: «Má, si yo le tomo un examen a usted seguro que tampoco sabe nada»”.
“Esos rasgos de humanidad eran los que nos encantaban”, dijo al final de su presentación, y contó que le sigue rindiendo homenaje con frecuencia al maestro, ya que descansa muy cerca de la sepultura de sus padres en el Cementerio Israelita de Rosario.

Alegría de vivir. El último de los ex alumnos en hablar fue Miguel Werber. Se presentó como ingeniero civil, agrimensor y técnico constructor de obras de la Escuela Industrial (hoy Politécnico), además de docente de la Facultad de Ingeniería. “Cuento todo esto para que se den cuenta que la mayor parte de mi vida la pasé aquí, en este edificio de Pellegrini y Ayacucho”, agregó.

“Beppo Levi —contó— era un hombre de 1,56 metro de alto, pero por un problema de columna parecía de estatura más baja aún. Tenía una barba muy particular y siempre andaba con un gran portafolio. Pero cuando se lo veía, se advertía en él su inteligencia y su alegría de vivir”.
"El asunto de los pizarrones era todo un tema”, dijo Werber para detenerse en una de las anécdotas que todos repasan de la vida académica del matemático. Y continuó: “Se entusiasmaba tanto desarrollando demostraciones que subía los escalones para llegar más alto, cuando no podía más daba unos saltitos y se colgaba para seguir escribiendo”.
Para Werber, una de las preguntas que se hacía en su época de estudiante universitario era “si hacía falta saber tanta matemática para un ingeniero civil”. Y contó que el tiempo junto a Levi le dio la respuesta: “Nos enseñó a razonar, a pensar y a meditar, que son los fundamentos para cualquier persona que ejerce una profesión”.
Teorema y libro. Levi desarrolló una intensa actividad en el Instituto Matemático que le confiaron a su llegada a la ciudad, en especial para entusiasmar a los jóvenes estudiantes con la teoría y la aplicación de la disciplina; publicó una revista especializada y varios libros, quizás el más famoso fue “Leyendo a Euclides”, editado en Rosario por los años 50. Y por si fueran pocas sus contribuciones a la ciencia, hasta hay un teorema que lleva su nombre.
El ingeniero Werber se guardó para el final una buena forma de pintar al matemático y educador italiano, y su manera constante de desafiar a los estudiantes a pensar: “Una vez, para fin de año, Levi nos confesó que el momento del examen era el que menos les gustaba de su tarea. Y en una clase nos confesó: «¿Saben qué me gustaría? que me tomen examen a mí». Nosotros nos reímos y le preguntamos cómo iba a hacer eso, y nos respondió: «No se rían, porque el que no estudió no tendrá nada para preguntar y el que lo hizo cuántas cosas interesantes me preguntará»”.

En el homenaje que organizó la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (UNR) a Beppo Levi, además de los ex alumnos Ricardo Sagristá, Moisés Chababo y Miguel Werber, también el profesor Pedro Marangunic ofreció una conferencia sobre el ilustre matemático.
Además se presentó la monografía premiada por la Unión Matemática Argentina sobre “Convergencia monótona” (tema desarrollado originalmente por Levi), cuyas autoras, Justina Gianatti, Julieta Bollati y Dana Pizarro, son alumnas de Ingeniería.
Participaron además estudiantes, docentes, autoridades de esta facultad, entre ellos el decano de Ingeniería, Oscar Peire.

sábado, 1 de octubre de 2011

ENSEÑAR MATEMÁTICA POR MEDIO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Enseñar Matemática por medio de la resolución de problemas se basa en el desarrollo de competencias”, y presenta un listado de las mismas: 
saber argumentar
saber cuantificar
saber analizar críticamente la información, 
saber representar y comunicar
saber resolver y enfrentarse a problemas, 
saber usar técnicas e instrumentos matemáticos, 
saber modelizar
saber integrar los conocimientos adquiridos. 
Y, además, indica con claridad que “La resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar estas competencias ya que es capaz de activar las capacidades básicas del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de las soluciones, etc
Y, a su vez, posibilita: experimentar, particularizar,  conjeturar, elegir un lenguaje apropiado, probar una conjetura, generalizar, utilizar distintas partes de las matemáticas, verificar una solución, etc.” 
Podemos afirmar que: 
Centrar la actividad matemática en la resolución de problemas es una buena forma de convencer al alumnado de la importancia de pensar en lo que hace y en cómo lo hace.

Trabajando el siguiente problema trataremos de descubrir cómo van surgiendo las distintas competencias durante el proceso de su resolución.
CAMPAMENTO

EL Profesor de Educación Física de una escuela está a cargo de un campamento con 122 alumnos. El docente tiene a su disposición 12 carpas de 8 personas y 12 carpas para 6 personas. La condición es que no quede lugar vacío en ninguna carpa. 

¿Cuántas carpas de cada tipo pueden ser preparadas para satisfacer dicha  petición? 
Escribe todas las soluciones posibles y explica cómo las has hallado. 

En primer lugar, es necesario tener un plan de trabajo para resolver el problema. Dicho plan se estructura en cuatro fases: comprender el problema, buscar una manera de pensar que ayude a resolverlo, ejecutar ese modo de pensar y responder a las preguntas del problema. 
En ese plan se contempla trabajar en equipo, agrupando a los alumnos de diferentes maneras según la fase en que nos encontremos. En un primer momento, para comprender el problema y responder a las preguntas se debe trabajar en gran grupo (grupo clase) para conseguir una mayor participación de los alumnos y favorecer así un aprendizaje cooperativo; posteriormente. en el momento de buscar una manera de pensar y de ejecutarla, es conveniente trabajar en pequeño grupo (cuatro o cinco por clase) para propiciar la posibilidad de que cada equipo elija estrategias diferentes y que en la ejecución se puedan poner en juego distintas herramientas lógicas y conocimientos que se correspondan con las diferentes formas de pensar. 
Una vez establecido este procedimiento, el profesor da inicio a la primera fase del plan: 
I) COMPRENDER 
En esta primera fase debemos buscar la información que nos pueda dar el problema, analizarla críticamente, clasificarla, completarla con las informaciones que nos da nuestro propio conocimiento y nuestra experiencia acerca del contexto de la situación problemática. 
Mediante la lectura buscaremos la información, la cuantificaremos, la describiremos y la clasificaremos en: 
Datos 122 participantes; 12 carpas de 8 personas; 12 carpas de 6 personas. 
Objetivo: Cuántas mesas de cada tipo deben ser preparadas. 

Relación En las carpas utilizadas no pueden quedar puestos vacíos. 

Con mesas de una sola clase es imposible cumplir la condición. Podemos utilizar el conocimiento de que 122 no es divisible ni por 8 ni por 6. Por lo tanto, es necesario utilizar mesas de 8 y mesas de 6, simultáneamente. 
Es muy importante que el alumno no se limite, en ningún caso, a dar los datos de manera escueta, sino que deberá justificar dónde lo ha encontrado, por qué sabe qué tipo de dato es y cómo ha profundizado en su conocimiento, argumentando de manera conveniente. El profesor ha de cuidar que todo ello se produzca. 
A veces es necesario explorar o experimentar con los datos del problema, haciendo pequeñas investigaciones o particularizando a partir de los datos, unas veces para encontrar la relación (no siempre clara) y, otras, para comprender mejor la situación en el contexto. 
Ahora debemos buscar una representación adecuada para condensar lo comprendido de la manera más matemática posible. Para ello podemos utilizar herramientas lógicas como: dibujos, gráficos, diagramas, gráficas, modelos, etc. 

Diagrama Podríamos utilizar 12 diagramas cerrados divididos en 8 partes iguales y otros 12 divididos en 6 partes, así como las etiquetas correspondientes 8, 6 y 122 para representar los participantes. 

Modelo El diagrama puede convertirse en un modelo utilizando cajas o tarjetas divididas en secciones más 122 objetos (piedras, boliches, garbanzos, …) que representen a los participantes. Este modelo puede ayudar a comprender y también ser elemento de resolución. 

II) PENSAR 
Hay nueve maneras de pensar (estrategias o técnicas de pensamiento); tres son de uso general: modelización, ensayo y error, organización de la información; otras cuatro de uso particular: eliminar, ir hacia atrás, buscar patrones, generalización; y otras dos auxiliares: analogía, simplificación. 
Se trata, pues, de elegir las más convenientes para conseguir el objetivo a través de la comprensión que hemos obtenido en el paso anterior. 
La modelización es una primera opción inmediata. Se ajusta al hecho de que podemos construir un modelo de la situación que podremos manipular más tarde para resolverla. 
También podremos realizar un ensayo y error, basado en ir probando diferentes posibilidades para combinar las mesas de los dos tipos (combinatoria) hasta encontrar una distribución que se ajuste a las condiciones. 
Parece evidente que cuando utilicemos la modelización habrá que hacer ensayo y error al ejecutar dicha estrategia. 
Pero también podremos organizar la información utilizando lenguajes matemáticos diferentes: operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) o lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones). 
III) EJECUTAR 
La ejecución va a depender de la estrategia elegida. Los conocimientos matemáticos puestos en juego irán en consonancia a las exigencias del modo de pensar seleccionado. 
Si ha elegido modelización deberá proceder de la siguiente manera: 
1. Tomará los 122 objetos y los irá distribuyendo de 8 en 8 o de 6 en 6 sobre las cajas o tarjetas según las etiquetas de las mismas. 
2. Cuando los haya repartido todos, comprobará si hay una caja o tarjeta que no esté totalmente llena. 
3. Tratará de jugar con los últimos objetos cambiándolos de caja o tarjeta hasta ajustar y queden todos los objetos distribuidos en cajas o tarjetas totalmente llenas. 
4. Contabilizando las cajas o tarjetas tendrá una solución al problema. 

Si ha elegido ensayo y error sin sistematizar deberá proceder de la siguiente manera: 
1. Proceder entonces por ensayos organizados (hipótesis); por ejemplo, considerar que 12 x 8 = 96 y que, por consiguiente, utilizando todas las mesas de 8 plazas, faltarían aún 26 plazas para las cuales 4 carpas de 6 plazas no serían suficientes y una quinta mesa de 6 carpas no sería utilizada completamente. 
2. Disminuir entonces el número de mesas de 8 plazas y darse cuenta (verificar) que con 10 carpas de 8 plazas y 7 carpas de 6 plazas se consigue instalar la sala según la pregunta. 
3. Después de haber hallado una primera solución, es necesario pensar que podría haber otras. Este paso no es fácil que se dé. La búsqueda anterior agota y se dan por satisfechos con una solución. 
Si ha elegido ensayo y error procediendo de manera sistemática deberá añadir la organización mediante el lenguaje aritmético y proceder de la siguiente manera: 
1. Como comprende que ha de realizar muchos cálculos del tipo: productos por 8 y por 6 que den como suma 122, se da cuenta que debe ser sistemático y utiliza una tabla de doble entrada como herramienta lógica para organizar los distintos cálculos. 
2. Diseñar la tabla con las columnas adecuadas para cada concepto y las filas necesarias para los distintos ensayos realizados. 
3. Construir y rellenar una tabla del tipo: 
Carpas de 8Personas colocadasPersonas por colocarCarpas de 6Personas sobrantes
1212 x 8 = 96122 – 96 = 2626 : 6 = 426 – 4 x 6 = 2 Error
1111 x 8 = 88122 – 88 = 3434 : 6 = 534 – 5 x 6 = 4 Error
1010 x 8 = 80122 – 80 = 4242 : 6 = 742 – 7 x 6 = 0 Correcto
99 x 8 = 72122 – 72 = 5050 : 6 = 850 – 8 x 6 = 2 Error
88 x 8 = 64122 – 64 = 5858 : 6 = 958 – 9 x 6 = 4 Error
77 x 8 = 56122 – 56 = 6666 : 6 = 1166 – 11 x 6 = 0 Correcto
66 x 8 = 48122 – 48 = 7474 : 6 = 1274 – 12 x 6 = 2 Error
55 x 8 = 40122 – 40 = 8282: 6 = 1382 – 13 x 6 = 4 Error
44 x 8 = 32122 – 32 = 9090 : 6 = 1590 – 15 x 6 = 0 Correcto
4. Seguir la búsqueda, por ejemplo disminuyendo el número de mesas de 8 y aumentando el de mesas de 6. Se obtienen tres posibilidades: 10 carpas de 8 plazas y 7 carpas de 6 plazas, 7 carpas de 8 plazas y 11 carpas de 6 plazas, o 4 carpas de 8 plazas y 15 carpas de 6 plazas. Alguno puede que incluso llegue a obtener 1carpa de 8 plazas y 19 carpa de 6 plazas. 
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje aritmético deberá proceder de la siguiente manera: 
1. Contar el número total de plazas disponibles (12x8 + 12x6 = 148) y darse cuenta que es necesario eliminar 46 plazas (148-122) por «carpas completas». 
2. Hacer esto eliminando 5 carpas de 8 personas y 1 de 6 plazas (8x5+1x6=46) o 5 carpas de 6 plazas y 2 de 8 plazas (6x5+8x2=46). 
3. Por tanto concluir que en el primer caso hay 7 carpas de 8 plazas (12-5) y 11 de 6 plazas (12-1), en el segundo caso 10 carpas de 8 plazas (12-2) y 7 carpas de 6 plazas (12-5). 
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje algebraico deberá proceder de la siguiente manera: 
1. Elegirá las etiquetas x e y para representar, respectivamente, las cantidades desconocidas de mesas de 8 y 6 plazas. 
2. Escribirá la relación que exige completar la etiqueta de 122 comensales al sumar las cantidades sentadas en los dos tipos de mesas. Lo cual dará lugar a la siguiente ecuación diofántica: 8x + 6y = 122. 
3. Utilizará sus conocimientos de este tipo de ecuaciones para encontrar las soluciones ya apuntadas. 
Ya vemos como este paso debe acabar con la consecución de la solución o soluciones o, también, la imposibilidad de encontrar una solución
Si no se encuentra solución pero se considera posible, habrá que considerar la revisión del plan, encontrar el origen del error y adaptar el plan buscando otras estrategias que propicien un nuevo camino de resolución. 
IV) RESPONDER 
Para transformar las soluciones en respuestas nos queda por hacer, en este último paso del proceso y por parte de los alumnos exponiendo ante sus compañeros, comunicando las conclusiones del trabajo, dos aspectos fundamentales: 

Comprobar Hacer la verificación mediante las multiplicaciones y sumas adecuadas con los tipos de mesas de la solución y comprobar en cada caso que da 122 como total 
10 carpas de 8 plazas + 7 carpas de 6 plazas = 80 + 42 = 122 
7 carpas de 8 plazas + 11 carpas de 6 plazas = 56 + 66 = 122 
4 carpas de 8 plazas + 15 carpas de 6 plazas = 32 + 90 = 122 
1 carpa de 8 plazas + 19 carpas de 6 plazas = 8 + 114 = 122 
Todas ellas verificadas y matemáticamente correctas. 
Analizar cada solución en su contexto Mediante la reflexión sobre las condiciones del problema, se ve que sólo las dos primeras de estas combinaciones es aceptable, porque no hay más que 12 carpas de 6 plazas y en los otros dos casos se necesitarían 15 o 19, respectivamente. 
Concluir, pues, que hay dos maneras posibles de preparar las mesas: 
a) 10 mesas de 8 plazas y 7 mesas de 6 plazas, o 
b) 7 mesas de 8 plazas y 11 mesas de 6 plazas. 
RESPUESTA: 10 mesas de 8 y 7 de 67 mesas de 8 y 11 de 6, acompañada de su correspondiente explicación. 
Procediendo de esta manera ante cualquier situación problemática presentada, el alumno adquiere soltura y seguridad para enfrentarse a cualquier problema real o realista, integrando todos los conocimientos, procesos y actitudes (competencias) adquiridos en su quehacer diario. 
¿Y qué representan? 
Pues las competencias o los elementos de las mismas que deben aparecer para que puedan desarrollarse de una manera natural con su uso frecuente y siguiendo un plan previamente establecido por el profesor. El profesor que sabe, porque así lo ha planificado, todas las competencias (sabersaber hacer y saber estar) que deben ponerse en juego velará porque así suceda, y estará pendiente, si no aparecen o tardan en aparecer, para guiar la acción y, en consecuencia, se produzca lo deseado. 
El profesor es, pues, el director del proceso y su animador, interviniendo en los momentos justos para encarrilar la resolución cuando se ha producido un estancamiento, pero dejando siempre que sea el alumno el que aporte las ideas y su concreción posterior. Incluso de las ideas erróneas puede salir un aprendizaje muy fructífero, siempre y cuando se sea lo suficientemente flexible para esperar que los alumnos encuentren los fallos, los analicen, busquen alternativas y reinicien el proceso de resolución. 

¿QUÉ ES UNA COMPETENCIA MATEMÁTICA?

“Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral”. 
Esta definición incluye: habilidad para interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones, el conocimiento y manejo de los conocimientos matemáticos básicos, y la puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información. Aplicar esa información a una mayor variedad de situaciones y contextos, seguir cadenas argumentales identificando las ideas fundamentales, y estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones. Habilidad para seguir determinados procesos de pensamiento (como la inducción y la deducción, entre otros) y aplicar algunos algoritmos de cálculo o elementos de la lógica, lo que conduce a identificar la validez de los razonamientos y a valorar el grado de certeza asociado a los resultados derivados de los razonamientos válidos. Disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la información y las situaciones que contienen elementos o soportes matemáticos, así como hacia su utilización cuando la situación lo aconseja, basadas en el respeto y el gusto por la certeza y en su búsqueda a través del razonamiento (1ª FASE: COMPRENDER). 
Utilizar los elementos y razonamientos matemáticos para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que los precisan. Por tanto, la identificación de tales situaciones, la aplicación de estrategias de resolución de problemas, y la selección de las técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible están incluidas en ella (2ª FASE: PENSAR). 
Saber aplicar las estrategias seguidas para resolver un problema a otras situaciones similares, adoptando las medidas necesarias y adecuadas para solventar las diferencias (3ª FASE: EJECUTAR). 
Verificar las soluciones, situarlas en el contexto de la situación problemática inicial, utilizar todos los medios de representación disponibles para comunicar las respuestas obtenidas y poder, si así se cree conveniente, generalizarlas o particularizarlas para cualquier situación real relacionada con el problema resuelto (4ª FASE: RESPONDER). 
No olvidemos que toda competencia conlleva un SABER, un SABER HACER y un SABER ESTAR. Si miramos en cualquier bibliografía veremos los siguientes: 
Interpretación y utilización de distintos lenguajes: numérico, gráfico, estadístico… 
Clasificar, ordenar. 
Formular conjeturas: búsqueda de regularidades y relaciones. 
Método inductivo. 
Utilización de algoritmos. 
Resolución de problemas. 
Elaboración y utilización en diferentes contextos de estrategias personales. 
Reconocer y valorar las formas del lenguaje. 
Actitud interrogante y de investigación ante cualquier situación, problema o información. 
Valoración de diferentes recursos para resolver diferentes situaciones problemáticas. 
Planificación del trabajo. 
Flexibilidad. 
Interés y respeto ante distintos puntos de vista. 
Gusto por la precisión, orden y claridad. 
Tenacidad y perseverancia. 
Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y cuidadosa de todo tipo de trabajos. 
Sensibilidad y gusto por la precisión. 
Confianza en sus propias capacidades matemáticas. 
Sentido crítico. 
Esfuerzo en las tareas. 
Interés por abordar situaciones problemáticas. 
Participación en actividades de grupo. 
Buena relación con los demás. 
Responsabilidad en las tareas asignadas. 
Respeto y valoración de las opiniones de los demás. 
Compartir y aportar ideas para el trabajo. 
Transmitir la información a los demás de forma ordenada e inteligible. 
Pedir ayuda. 
Respeto en el trato a los demás. 
Ser ordenado en el trabajo. 
Actuar de acuerdo con las normas. 
Ayudar a los compañeros. 
Mantener la atención. 
Sentido crítico. 
Expresar opiniones. 
Fundamentar las opiniones de forma coherente. 
Mostrar creatividad. 
Mostrar autonomía. 
Es un buen listado, pero, como es natural, desordenado e incompleto. Esto nos puede dar una idea de todo lo que hay que poner en marcha y cómo sólo es posible si utilizamos una vía adecuada.
Hay que seguir enseñando conocimientos, usando ejemplificaciones, ejercitando a los alumnos en los procesos y técnicas de trabajo, pero también es necesario dedicar tiempo, al menos una vez en semana, a la resolución de problemas como camino para desarrollar con equidad TODAS las competencias. 
Y será una gran felicidad. Felices nuestros alumnos y felices nosotros porque ellos lo son.
Y la matemática dejará de estar en la cola en el aprecio de nuestros alumnos y de la sociedad que ellos, finalmente, protagonizarán. 

270 SANDÍAS, EN MATEMÁTICAS

(…) “Matemáticas es el único sitio, donde una persona compra 270 sandías”
Miércoles, 28 de Septiembre. Faltaban apenas unos cuantos minutos para alcanzar las 9 de la mañana. No había transcurrido ni media hora de clase, cuando solté esa frase, en relación a una actividad de Estadística que estábamos trabajando sobre preferencias lectoras en un grupo de 3º de ESO.
La frase venía a colación de un comentario que había realizado Pablo“una encuesta cómo esta sobre los libros me la hicieron a mi”.
Una frase tan aparentemente simple pero con tanta carga didáctica, pronunciada por este alumno.
Estábamos conectando matemáticas y realidad a través de la Estadística, mediante situaciones y actividades contextualizadas y reales, y se estaba captando de isofacto. Se palpaba en el ambiente. Motivación, atención, interés y aprovechamiento, que no es cualquier cosa.
Me llegó y me llenó el comentario de Pablo y lo quise aprovechar, para ver hasta dónde llegábamos.
A lo que comenté: “Matemáticas es el único sitio, donde una persona compra 270 sandías”
(Risas) y yo también sonreí.
“Yo sé lo que quiere decir,…” - se oía “Y yo…” “En los problemas…”. Tras un par de minutos, en el que se cruzaban reflexiones en voz alta, …, me encanta el ruido matemático, quise ordenar y sintetizar, todo lo que había oido, a ver si lo habíamos entendido y estábamos todos de acuerdo.
“Exactamente, estamos todos en el buen camino. A las actividades con este tipo de enunciados la denomino: pseudo-problemas o problemas forzados y aquí intentaremos no proponer ninguno de este tipo. Estadística y realidad están estrechamente vinculadas, pero también otras áreas(…) Propondremos y trabajaremos, problemas contextualizados cercanos a la realidad, siempre que sea posible y nos esforzaremos por conseguirlo”. 
Todos lo teníamos claro. Había conseguido mi objetivo, provocar debate e introducir este tipo de actividades.
Nos disponíamos a continuar cuando, de nuevo Pablo, irrumpió con la siguiente pregunta:“¿Y si compramos las 270 sandías para animales nuestros?”
“Muy bien Pablo” – sentencié. Él mismo, estaba contextualizando, cargando de significado una situación aparentemente irreal y vacía.
Había conseguido llevar un pseudoproblema a un problema real. Realmente genial, ¿verdad?
Estas experiencias sólo se pueden vivir en el aula pero, como no tuvistes la suerte de estar allí con nosotr@s, quería compartirlo contigo.
PD: Por cierto, … estábamos trabajando Estadística.