TALLER DE GEOGEBRA

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MOSAICO Y TESELACIONES

Haz click sobre la imagen, descubrirás una página que te permitirá diseñar distintos mosaicos y teselaciones utilizando triángulos, cuadrados, hexágonos...

POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES EN LAS TESELACIONES

Presentación Teselaciones

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CUENTO: MOSAICOS Y POLIEDROS

MOSAICO PENTAGONAL

Una artista británica llamada Rosemary Grazebrook descubrió que una loseta o mosaico pentagonal (pentagonal tile) puede servir de pieza básica para multitud de motivos o disposiciones reticulares.

Una característica esencial es que la loseta tiene dos ángulos de 90 grados y tres de 120 grados, lo que permite poner las losetas en retículos tanto cuadrados como hexagonales, veamos un par de ejemplos:

Las Losetas o Mosaicos  coloreadas como se indica en esta figura, pueden formar una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling), en este caso con hexágonos regulares.

En la figura anterior las Losetas base por sí solas forman una “Teselación Reticular” (Lattice Tiling).

Una loseta cuadrada (square tile) en cambio, no posee ángulos más que de 90 grados, por que solamente puede formar unos pocos retículos diferentes. Ensamblando cuatro de las losetas pentagonales de Grazebrook se puede construir un hexágono ancho y bajo, que tesela el plano como los ladrillos de una pared. Combinando losetas pentagonales con hexágonos regulares, se pueden conseguir  todos, menos uno, de los 17 tipos de simetría de los motivos reticulares.

Grazebrook introdujo dos sistemas distintos para colorear sus losetas pentagonales. Uno de ellos consiste en dividir la tesela en tres triángulos; se obtiene así el llamado conjunto Pentland. El otro consiste en dividir el pentágono en cuatro regiones: dos cuadrados, un cuadrilátero con forma de cometa y un pentágono más pequeño, se tiene así un conjunto Penthouse. Se puede dividir y colorear las losetas en muchas otras formas, pero estos dos conjuntos por sí solos bastan para generar una increíble cantidad de diseños. Los aquí expuestos estás protegidos por derechos de autor y los esquemas están registrados. Como ven se puede hacer algún dinero diseñando y pintando azulejos.

(El presente post es una adaptación y resumen del artículo “El arte de la teselación elegante” aparecido en la revista Investigación y Ciencia de Septiembre 1999 en la columna Juegos Matemáticos a cargo de Ian Stewart).

PENTOMINÓ: UN BUEN RECURSO PARA EL AULA

Pentominoes

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NUEVOS DESAFÍOS

• Alrededor de la piscina de 4 x 7 se quiere colocar césped artificial. Para ello disponemos de piezas que tienen la forma de los pentominós. Sin cortar ni superponer ninguna pieza debes cubrir todo el campo.

Por favor, ayuda a colocar el césped

• Construir en el geoplano todas las figuras posibles formadas por 4 triángulos rectángulos de igual superficie, unidos por los catetos o por la hipotenusa.

Ayudita: Se pueden construir más de 10 figuras diferentes. ¡Adelante!!!

PENTOMINÓ: UN BUEN RECURSO DIDÁCTICO PARA EL AULA

JUEGO Y MATEMÁTICA

¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados del mismo tamaño? Una forma es la siguiente:

A esta y las otras posibles configuraciones se les conoce como pentominós. En total son 12 maneras distintas de acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados.

Los pentominós o 'juego de pentominós' fueron presentados al mundo matemático en 1954 por un catedrático de la Universidad del Sur de California, Solomon W. Golomb. En 1957, la revista Scientific American publicó un primer artículo sobre ellos. Desde entonces se han convertido en un pasatiempo popular, además de propiciar diversas investigaciones y resultados.

Con las doce piezas del juego de pentominós se pueden plantear y resolver un gran número de problemas. Precisamente eso es lo que los ha convertido en un interesante enigma.

Antes de continuar leyendo, propongo que como primera actividad con el juego de pentominós, los lectores descubran las 12 piezas.
En un comienzo, puede resultar un poco difícil dar con todas ellas, ya que una misma pieza puede ubicarse en diferentes posiciones y aparentar ser distinta. Hay que descubrir cuándo se está repitiendo una pieza, y tener cuidado si alguna está rotada o reflejada, porque esto puede hacernos creer que se trata de otra pieza. ¡Suerte!

El pentominó es entonces un juego de 12 piezas que conforman gran número de acertijos del tipo de los rompecabezas. Uno de los aspectos más sorprendentes de este juego es que se pueden acomodar todas las piezas juntas de maneras inesperadas.

Quizá resulte difícil imaginar que con las 12 piezas se puede formar un rectángulo; más aún, que existe una gran variedad de formas diferentes en que las 12 piezas pueden ser acomodadas juntas. Por ejemplo, el rectángulo arriba mostrado está compuesto por las 12 piezas. Mide seis cuadrados de ancho y diez cuadrados de largo, por lo que tiene, entonces, un área de 60 cuadrados. Existen más de 2000 soluciones distintas para armar ese rectángulo. Sorprendente, ¿verdad? Habrá que intentar encontrar otras de las soluciones.

Cómo construirlo

El juego de pentominós se puede construir con madera u otros materiales más fáciles de trabajar, como cartoncillo, fomi o cartulina. Recomiendo hacerlo a partir de un rectángulo que guarde la proporción de 6 x 10 unidades para trazar en su interior la solución dada arriba y, a partir de ésta, recortar cada una de las piezas -sin olvidar que previamente se trabaje la actividad de descubrir los 12 pentominós que lo integran.

Se sugiere hacer un rectángulo de 20 cm x 12 cm para obtener un juego de pentominós a escala 2:1 en las dimensiones de longitud, tamaño adecuado para manipular las piezas.

Ahora nos detendremos a hablar de las piezas. Para identificar cada una de ellas es común que se les asignen nombres de letras, como hizo el mismo Solomon W. Golomb, para poder designarlas y recordarlas con facilidad. Veamos:

Solomon identificó cinco de las piezas con algunas de las letras de la palabra FILiPiNo, y las siete restantes con las últimas siete letras del alfabeto: T, U, V, W, X, Y, Z. Esa es una regla nemotécnica que permitirá familiarizarse con cada pentominó.

Actividad I

Simetría

Una de las actividades que se pueden realizar luego de haber descubierto las 12 piezas, y que nos será de mucha ayuda al intentar resolver los acertijos, se relaciona con simetría. El ejercicio consiste en resolver las siguientes cuestiones (las respuestas se encuentran al pie de página):

a)¿Cuáles piezas tienen ejes de simetría, y cuántos ejes tiene cada una? Resolver este problema nos será de gran utilidad, ya que las piezas con ejes de simetría no necesitan ser volteadas, pues son figuras simétricas, y como da igual colocarlas de un lado o de otro, el número de posibilidades se reduce.1

b)¿Cuáles de las piezas tienen simetría de rotación; es decir, cuáles de los pentominós permanecen como estaban al ser rotados medio giro (180º)?2

c)¿Cuáles son todas las posibles posiciones de los pentominós que no tienen ejes de simetría ni simetría de rotación? A menudo ocurrirá que resulta mejor dejar hasta el final los pentominós asimétricos, ya que cuando llegue el momento de acomodarlos habrá un mayor número de maneras diferentes de ponerlos.3

Actividad II

Área y perímetro

Una vez identificadas todas las piezas y su relación con la simetría, otro problema que se puede plantear, y a partir del cual podremos diseñar diferentes actividades, es construir rectángulos.

a)Si tomamos el cuadrado que compone al pentominó como unidad de medida de superficie, ¿cuál es el área de cada pieza y cuál su perímetro?

b)Con las piezas del pentominó construya: 3 piezas, 4 piezas, 5 piezas, 6 piezas, etc., hasta 12 piezas, y forme todos los rectángulos posibles. Determine las dimensiones, el área y el perímetro de cada rectángulo que forme.

Al realizar esta actividad se pueden sugerir algunas preguntas. Por ejemplo, en el caso del rectángulo construido con 4 piezas, cuya área es de 20 unidades cuadradas, ¿puede decir cuáles son sus posibles dimensiones? La respuesta es 2 x 10 y 4 x 5; entonces, ¿será posible construir ambos rectángulos? Y así, para cada rectángulo, a partir del número de piezas utilizadas. Es decir, habrá que determinar las diferentes dimensiones, en los casos que se pueda, de los rectángulos de cierta área.

Presentamos a continuación una tabla con los resultados de algunos de los rectángulos.

Esta es sólo una pequeña muestra de actividades que se pueden llevar a cabo con el juego del pentominó. Su alcance como material didáctico es vasto; como juego es enigmático, sorprendente y muy divertido.

1 Respuesta: I, T, U, V, W, X.

2 Respuesta: I, X, Z.

3 Respuesta: F, L, N, P, Y.

Bibliografìa

GARDNER,Martín, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza, Madrid, 1972.
BRANDRETH,Gyles P., Acertijos fantásticos, Selector, Mèxico, 1990.

MOSAICO O TESELADO

¿Qué es un teselado?
Es un patrón repetitivo de figuras geométricas, por ejemplo polígonos, que encajan y cubren el plano sin superponerse y sin dejar huecos.

¿Qué es teselar?
Es embaldosar una superficie con figuras regulares o irregulares. Al teselar un plano, entre las figuras, no quedan espacios y tampoco se superponen.

Los cubrimientos realizados con baldosas, cerámicos, pastelones, azulejos, tejas en pisos, muros y techos son las más comunes teselaciones que se encuentran en la realidad.

• Observa el siguiente teselado, ¿puedes descubrir el patrón que se repite?

Los teselados regulares se logran a partir de la repetición y traslado de polígonos regulares.

¿Cuáles polígonos se pueden usar para hacer teselados regulares?

Para descubrirlo realiza las siguientes actividades:

• Recorta varios triángulos equiláteros iguales.
  
• De la misma manera, recorta( con la ayuda de un molde) cuadrados, pentágonos, hexágonos y octógonos. Recuerda que todos deben ser polígonos regulares.
  
• Utiliza hojas blancas. Pega en una de ellas los triángulos tratando de cubrir todo el plano.
• Repite la misma operación para los cuadrados, pentágonos regulares, hexágonos y octógonos.
• Ahora responde: ¿Cuáles son los polígonos que se pueden usar para hacer teselados regulares?
  
• Mide ahora los ángulos interiores de los distintos polígonos regulares y suma la medida de los ángulos interiores de los mismos.

• ¿Qué condición debe existir en cuanto a la suma de los ángulos en un vértice común para poder tener un teselado?

Recuerda que para formar un teselado no pueden quedar espacios en blanco entre las figuras ni se pueden superponer

• De acuerdo a la información de la tabla, ¿qué polígonos regulares se pueden usar para hacer teselados? ¿Y por qué no se pueden usar otros?

Como habrás visto, una teselación regular es un patrón que se consigue repitiendo un polígono regular (para que sea regular los lados y los ángulos tienen que ser iguales). Sólo existen tres teselaciones regulares:

Los teselados semi-regulares están hechos con dos o más polígonos regulares. ¡El patrón debe ser el mismo en todos los vértices!
Observa algunas de ellas:

Los teselados demi-regulares están formados usando los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Algunos de ellos son:

Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica.
Observa estos dos ejemplos:
Manos a la obra:
Ahora, realiza tus propias teselaciones

• Utiliza uno de los polígonos regulares con los que se puede teselar el plano, por ejemplo, un cuadrado.

• Recorta una sección del cuadrado, a lo largo de una curva que no tenga autointersercciones.

• Pega el segmento recortado del lado opuesto al que fue cortado.

• Repite este proceso cuantas veces quieras.

• Utiliza esta figura como molde para copiarla en una hoja, después trasládala sobre la hoja sin que haya traslapes.

• Decora tus figuras.