PENTOMINÓ: UN BUEN RECURSO DIDÁCTICO PARA EL AULA

JUEGO Y MATEMÁTICA

¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados del mismo tamaño? Una forma es la siguiente:

A esta y las otras posibles configuraciones se les conoce como pentominós. En total son 12 maneras distintas de acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados.

Los pentominós o 'juego de pentominós' fueron presentados al mundo matemático en 1954 por un catedrático de la Universidad del Sur de California, Solomon W. Golomb. En 1957, la revista Scientific American publicó un primer artículo sobre ellos. Desde entonces se han convertido en un pasatiempo popular, además de propiciar diversas investigaciones y resultados.

Con las doce piezas del juego de pentominós se pueden plantear y resolver un gran número de problemas. Precisamente eso es lo que los ha convertido en un interesante enigma.

Antes de continuar leyendo, propongo que como primera actividad con el juego de pentominós, los lectores descubran las 12 piezas.
En un comienzo, puede resultar un poco difícil dar con todas ellas, ya que una misma pieza puede ubicarse en diferentes posiciones y aparentar ser distinta. Hay que descubrir cuándo se está repitiendo una pieza, y tener cuidado si alguna está rotada o reflejada, porque esto puede hacernos creer que se trata de otra pieza. ¡Suerte!

El pentominó es entonces un juego de 12 piezas que conforman gran número de acertijos del tipo de los rompecabezas. Uno de los aspectos más sorprendentes de este juego es que se pueden acomodar todas las piezas juntas de maneras inesperadas.

Quizá resulte difícil imaginar que con las 12 piezas se puede formar un rectángulo; más aún, que existe una gran variedad de formas diferentes en que las 12 piezas pueden ser acomodadas juntas. Por ejemplo, el rectángulo arriba mostrado está compuesto por las 12 piezas. Mide seis cuadrados de ancho y diez cuadrados de largo, por lo que tiene, entonces, un área de 60 cuadrados. Existen más de 2000 soluciones distintas para armar ese rectángulo. Sorprendente, ¿verdad? Habrá que intentar encontrar otras de las soluciones.

Cómo construirlo

El juego de pentominós se puede construir con madera u otros materiales más fáciles de trabajar, como cartoncillo, fomi o cartulina. Recomiendo hacerlo a partir de un rectángulo que guarde la proporción de 6 x 10 unidades para trazar en su interior la solución dada arriba y, a partir de ésta, recortar cada una de las piezas -sin olvidar que previamente se trabaje la actividad de descubrir los 12 pentominós que lo integran.

Se sugiere hacer un rectángulo de 20 cm x 12 cm para obtener un juego de pentominós a escala 2:1 en las dimensiones de longitud, tamaño adecuado para manipular las piezas.

Ahora nos detendremos a hablar de las piezas. Para identificar cada una de ellas es común que se les asignen nombres de letras, como hizo el mismo Solomon W. Golomb, para poder designarlas y recordarlas con facilidad. Veamos:

Solomon identificó cinco de las piezas con algunas de las letras de la palabra FILiPiNo, y las siete restantes con las últimas siete letras del alfabeto: T, U, V, W, X, Y, Z. Esa es una regla nemotécnica que permitirá familiarizarse con cada pentominó.

Actividad I

Simetría

Una de las actividades que se pueden realizar luego de haber descubierto las 12 piezas, y que nos será de mucha ayuda al intentar resolver los acertijos, se relaciona con simetría. El ejercicio consiste en resolver las siguientes cuestiones (las respuestas se encuentran al pie de página):

a)¿Cuáles piezas tienen ejes de simetría, y cuántos ejes tiene cada una? Resolver este problema nos será de gran utilidad, ya que las piezas con ejes de simetría no necesitan ser volteadas, pues son figuras simétricas, y como da igual colocarlas de un lado o de otro, el número de posibilidades se reduce.1

b)¿Cuáles de las piezas tienen simetría de rotación; es decir, cuáles de los pentominós permanecen como estaban al ser rotados medio giro (180º)?2

c)¿Cuáles son todas las posibles posiciones de los pentominós que no tienen ejes de simetría ni simetría de rotación? A menudo ocurrirá que resulta mejor dejar hasta el final los pentominós asimétricos, ya que cuando llegue el momento de acomodarlos habrá un mayor número de maneras diferentes de ponerlos.3

Actividad II

Área y perímetro

Una vez identificadas todas las piezas y su relación con la simetría, otro problema que se puede plantear, y a partir del cual podremos diseñar diferentes actividades, es construir rectángulos.

a)Si tomamos el cuadrado que compone al pentominó como unidad de medida de superficie, ¿cuál es el área de cada pieza y cuál su perímetro?

b)Con las piezas del pentominó construya: 3 piezas, 4 piezas, 5 piezas, 6 piezas, etc., hasta 12 piezas, y forme todos los rectángulos posibles. Determine las dimensiones, el área y el perímetro de cada rectángulo que forme.

Al realizar esta actividad se pueden sugerir algunas preguntas. Por ejemplo, en el caso del rectángulo construido con 4 piezas, cuya área es de 20 unidades cuadradas, ¿puede decir cuáles son sus posibles dimensiones? La respuesta es 2 x 10 y 4 x 5; entonces, ¿será posible construir ambos rectángulos? Y así, para cada rectángulo, a partir del número de piezas utilizadas. Es decir, habrá que determinar las diferentes dimensiones, en los casos que se pueda, de los rectángulos de cierta área.

Presentamos a continuación una tabla con los resultados de algunos de los rectángulos.

Esta es sólo una pequeña muestra de actividades que se pueden llevar a cabo con el juego del pentominó. Su alcance como material didáctico es vasto; como juego es enigmático, sorprendente y muy divertido.

1 Respuesta: I, T, U, V, W, X.

2 Respuesta: I, X, Z.

3 Respuesta: F, L, N, P, Y.

Bibliografìa

GARDNER,Martín, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza, Madrid, 1972.
BRANDRETH,Gyles P., Acertijos fantásticos, Selector, Mèxico, 1990.