El quehacer matemático es una actividad estructurante y organizadora (matematización) que está al alcance de todos los seres humanos, de allí la premisa de una matemática para todos. (Freudenthal 1973, 1991)

viernes, 11 de julio de 2014

LAS FIGURITAS DEL MUNDIAL

EL Dr. ADRIÁN PAENZA no responde acerca de cuántas figuritas hay que comprar y cuánto dinero cuesta para completar el álbum.

El 17 de junio de este año, cinco días después de que Brasil inaugurara el Mundial, recibí un mail de mi querido amigo y ex alumno Carlos Sarraute. Creo que vale la pena que lo lea con atención: “Te cuento un problema que tiene desvelados a los padres de niños en edad escolar en estos días: ¿cuántas figuritas hay que comprar para completar el álbum del Mundial? ¿Y cuánta plata termina saliendo? Las figuritas se venden en paquetes de 5 pero, simplificando, el problema se podría plantear así: suponiendo que las figuritas se compran de a una, que vienen distribuidas al azar (uniformemente), y que el álbum tiene lugar para 600 figuritas (en realidad son 639)... si uno no intercambia figuritas, ¿cuál es la cantidad de figuritas que hay que comprar para llenar el álbum?”.
Acá paro. Desde niño siempre tuve una pasión particular por el tema de las figuritas. En alguna parte tengo todavía los álbumes que fui coleccionando pero, curiosamente, ¡nunca pude completar ninguno! Más allá de que me digan que ahora eso no sucede, que las figuritas se imprimen todas por igual, que las planchas reproducen las caras de todos los jugadores uniformemente, que no hay preferencias, que no hay jugadores “distinguidos” (para que salgan más o salgan menos), me cuesta trabajo imaginarme que sea cierto... pero, como no conozco el tema, quiero hacer de cuenta que eso no sucede más.
Lo que sí puedo garantizar es que en la época en la que yo era niño (sí, ya sé, hace tanto tiempo que la gente tenía que “saltar” por la calle porque la Tierra aún estaba caliente...), decía, en esa época, seguro que había figuritas difíciles. Recuerdo dos casos en particular: uno fue el de José Manuel Ramos Delgado, “zaguero” derecho de Lanús (y de River y del Santos de Brasil, compañero de Pelé en algún momento, y del seleccionado argentino), y Julio San Lorenzo (ex jugador de Nueva Chicago, Racing y que también jugó en Banfield). Sus figuritas fueron imposibles. No sólo eso: creo que una vez vi una de Ramos Delgado pero de San Lorenzo no... nunca. Y es por eso que ese álbum nunca lo pude terminar. Y como ese ejemplo, estoy seguro de que cada uno que se haya acercado al fútbol de alguna manera tiene su propia anécdota para contar. Tanto debe ser así que, si no, el dicho “figurita difícil” no tendría sentido de existir.
Por otro lado, no sé cuán popular se hizo el caso de un jugador de Costa Rica que está participando de este Mundial, Joel Campbell, quien se compró 100 paquetes (de cinco figuritas cada uno) para poder “tenerse a sí mismo”, pero ¡no tuvo suerte! Si bien en total son 639 jugadores, teniendo 500 de una sola vez Campbell pretendió aumentar muchísimo su probabilidad de conseguir la propia, pero no lo logró.
Ahora, quiero volver al problema. Antes de avanzar con la cuenta, me interesa hacerle a usted una pregunta: si uno se decidiera a no cambiar figuritas con sus amigos, no recurrir a una plaza un sábado por la tarde o domingo por la mañana o a Facebook o fijarse en las páginas de Internet para encontrar personas que como usted están buscando conseguirlas todas... sólo imagine que usted tiene el dinero suficiente como para comprar un número grande de paquetes: ¿cuántas figuritas –o paquetes– estima que tendría que conseguir para poder llenar el álbum?
Es importante el detalle de no intercambiar figuritas con nadie, porque mi objetivo es “cuantificar en dinero” lo que hay que invertir para tener una esperanza razonable de completar el álbum.
Antes de avanzar con la cuenta, necesito que usted y yo establezcamos un acuerdo: yo quiero hacerle acá un par de preguntas. Como usted no está conmigo para contestarlas, lo voy a hacer como si estuviéramos juntos, pero le pido que no avance en la lectura si no está satisfecho con las respuestas que usted “me dio”. Acá voy.
En principio, si fuéramos a tirar una moneda al aire, ¿cuántas veces cree usted que deberíamos arrojarla para tener una buena expectativa de que salga cara? Naturalmente, no hay garantías de que salga cara aun tirándola cien veces, porque podría darse una secuencia de cien “cecas” consecutivas, pero la pregunta apunta hacia lo que podríamos “aspirar” o “esperar” que suceda. La/lo dejo pensando por un momento.
Sigo yo: creo que escuché que me decía que “con dos tiros” deberíamos estar contentos, porque como hay dos “lados posibles” (cara y ceca), y la probabilidad es 1/2 en cada caso, entonces, si la arrojamos al aire dos veces, entonces podríamos imaginar que una de las veces salió cara.
De la misma forma, si tuviéramos un dado, la probabilidad de que salga –por ejemplo– un cuatro, es 1/6. En realidad, la probabilidad de que salga cualquier número es 1/6, no importa cuál sea. Entonces, vuelvo a hacerle la misma pregunta, pero referida a un dado: ¿cuántas veces habrá que tirar el dado para sentirnos más o menos cómodos de que tenemos una buena posibilidad de que el número que hemos elegido “salga”?
¿Cómo dijo? No escuché bien... ah, sí, tiene razón: seis veces. Uno tiene “derecho” a esperar que si tira un dado seis veces, entonces, en una de esas veces el lado del dado que aparece es un cuatro.
Una observación más que voy a necesitar un poquito más adelante. Como usted advierte, cuando la probabilidad (en el caso de la moneda) era de 1/2, me alcanza con tirar dos veces la moneda al aire, y no sé si usted prestó atención pero se puede hacer esta cuenta:
1/(1/2) = 2
¿Por qué hice esa cuenta? Para mostrarle que si la probabilidad es 1/2, la cantidad de veces que tengo que tirar la moneda es uno dividido por esa probabilidad. En el caso del dado, la probabilidad de que salga un cuatro es 1/6. Usted estuvo de acuerdo conmigo que había que tirar el dado seis veces para estar confiados en que nos va a salir un cuatro. Ahora, le sugiero que piense conmigo: si uno hace uno dividido por la probabilidad de que salga un cuatro, resulta ser:
1/(1/6) = 6.
Es decir, en ambos casos sucede algo curioso: cuando uno quiere saber cuántas veces tiene que tirar la moneda o el dado, lo que tiene que hacer es la siguiente cuenta: uno dividido por la probabilidad de que suceda lo que quiero. Recuerde este hecho porque lo voy a usar casi en forma inmediata.
Quiero ahora empezar con el caso de las figuritas. Para hacer las cuentas más fáciles voy a suponer que en lugar de venderse en paquetes de a cinco se venden por unidad, y en lugar de valer cinco pesos por paquete vale un peso cada figurita. Está claro que estoy modificando la realidad, pero a los efectos de lo que quiero hacer eso resulta irrelevante.
Sigo. En principio, supongamos que en lugar de haber 639 figuritas en el álbum hubiera nada más que tres. Estamos por empezar a comprar figuritas y queremos estimar cuánto dinero nos hará falta invertir para completar un álbum de tres figuritas. Si compro la primera figurita, seguro que “no la tengo”, por lo que la probabilidad de que la pegue en el álbum es uno o, lo que es lo mismo, un ciento por ciento. Es decir, un peso tendré que invertir seguro para la primera figurita.
Ahora bien. Una vez que pegué la primera figurita, me faltan dos para completar el álbum. Si yo comprara una figurita solamente, ¿cuál es la probabilidad que sea una de las dos que me falta? La probabilidad es 2/3, porque de las tres posibles, dos me vienen bien. Es decir en dos casos sobre tres posibles obtendría una figurita que me sirve y es por eso que la probabilidad es 2/3. Ahora quiero usar lo que le pedí que recordara: para saber cuántas veces tenía que tirar la moneda al aire o arrojar el dado, lo que había que hacer es uno dividido la probabilidad. En el caso de las figuritas, como la probabilidad de que salga una de las dos que quiero es 2/3, entonces el número de figuritas que tengo que comprar se calcula como:
1/(2/3) = 3/2 = 1,5.
O sea, hasta acá tuve que comprar una figurita (cuando no tenía ninguna en el álbum), ahora tengo que comprar 1,5 más. Para terminar, me falta una figurita (porque se supone que ya pegué dos). ¿Cuál es la probabilidad de que me salga si compro un paquete? Esa probabilidad ahora es 1/3, porque sobre las tres figuritas que pueden aparecer, me sirve solamente una. Como antes, ¿cuántas figuritas (o paquetes) tengo que comprar? Pues bien, tengo que dividir:
1/(1/3) = 3.
Es decir, que ahora tengo que comprar tres figuritas más. Juntando todo, tuve que comprar:
1 + 1,5 + 3 = 5,5 figuritas (si esto fuera posible, porque uno no puede comprar media figurita).
Ahora, con la misma idea, volvamos a la realidad de las 639 figuritas. La cuenta que hay que hacer para saber cuántas figuritas tengo que comprar para llenar el álbum se hace de la siguiente forma:
639/639 + 639/638 + 639/637 + .... 639/3 + 639/2 + 639/1 = 4.497,21 figuritas.
Este dato es muy interesante, porque entonces uno deduce que si cada figurita cuesta un peso, el dinero que hay que invertir –sin intercambiar figuritas con nadie– es de casi $4500 para llenar el álbum. ¿Sabrán los chicos lo que cuesta? Mejor aún: ¿sabía usted qué dinero anda en juego cuando uno habla de algo tan inofensivo como un álbum de figuritas?
No sé cuánto le importa a usted, ni cuán significativo es para los niños, pero de lo que sí estoy seguro es de que la compañía que los imprime hizo bien los deberes y toooooodos los cálculos, sin ninguna duda.

De: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-250187-2014-07-06.html

jueves, 26 de junio de 2014

A LOS PADRES NO LES DAN LAS CUENTAS

 Los nuevos métodos cambian la enseñanza e inquietan a las familias
La nota pegada en el cuaderno de comunicaciones de Renata Quaini, alumna de primer grado de la Nueva Escuela Argentina 2000 , llamó la atención de su madre. La dirección del colegio invitaba a los padres a un taller de matemática pensado especialmente para ellos. "¿Qué significa hacer matemática hoy?" era una de las consignas, y la propuesta reunió en el colegio a un numeroso grupo de adultos (casi todos primerizos en cuestiones de escolarización primaria) a escuchar de qué se trataba.
Contadores, abogados, periodistas, odontólogos y amas de casa, todos con lápiz y papel a las 8.30 de la mañana, resolviendo cuánto es 1429 + 372 o 58 - 29. Había que hacer las cuentas y explicar de qué manera se habían obtenidos los resultados. Como era de esperar, muchos recurrieron al clásico y sabido "me llevo uno", mientras que para la resta fue necesario "que tal número le preste uno al compañero" para poder concretar con éxito la sustracción. Bueno, nada de eso pasa hoy en la mayoría de las escuelas primarias.
El método de enseñanza cambió , y aunque en algunas instituciones se aplica desde hace unos 15 años, como en la NEA 2000, para la mayoría de los padres que acompañan a sus hijos en la transición del jardín a la primaria resulta una verdadera sorpresa. ¿Y cómo ayudar si los chicos lo necesitan? Ahí radica la cuestión. Algunos padres sólo ven una maraña de números y flechas; otros intentan ayudar imponiendo su viejo método. Hay quienes comparten la inquietud con otros padres. Pero, ante la duda, dirían los académicos en este caso, siempre es mejor consultar con el docente. Con ese fin nacieron en algunos colegios los talleres de matemática para padres. Un enlace entre la escuela y el hogar, una buena herramienta para acompañar desde la casa el proceso de aprendizaje de los hijos.

¿Y qué cambió?

Podría decirse, a grandes rasgos, que en el método de enseñanza actual ya no se trata de repetir aquello que se debió memorizar; de que los alumnos accedan al discurso expositivo de los maestros. La intención, dicen los expertos, es poner a los niños y a los jóvenes en situación constante de producción, de debate.
En lo concreto, y para ser más específica, Claudia Muñoz, asesora de matemática en instituciones educativas y capacitadora del Centro de Pedagogías de Anticipación (CEPA) de la ciudad de Buenos Aires, recuerda: "En nuestra época aprendíamos los números y después las cuentas, primero las fáciles y después las más complejas. Recién entonces las aplicábamos a la resolución de problemas. Ahora, en cambio, sucede todo al mismo tiempo. Puede resultar complejo porque se abren muchas puertas a la vez, pero todas están entrecruzadas. Los problemas aparecen primero, y se resuelven con distintas estrategias. Los chicos acuden a los dibujos, al cálculo mental o a la grilla de números. Se valora el proceso por sobre el resultado".
Con respecto a los números, precisamente, Muñoz explica que, ya desde primer grado, los números se trabajan de manera global. En esta primera etapa, entonces, no se enseñan las definiciones de unidades, decenas ni centenas. "Esa captura encierra un concepto multiplicativo -refuerza Muñoz-. Por eso los chicos hablan de unos, dieces y cienes."

Un choclazo de números

Honestidad brutal. Cuando Liliana Quinterno vio el cuaderno de su hijo mayor, Lucas, quedó absorta. "Confieso que no entendía bien para qué servía este método. Era todo un choclazo de descomposición de números interminable. Pero después empecé a familiarizarme, y la verdad es que el razonamiento que ellos hacen es mucho más eficaz que la fórmula que teníamos nosotros. Trabajan mucho con el cálculo mental de aproximación, y finalmente terminan economizando recursos. Es genial", cuenta entusiasmada la mamá de Lucas y Benicio Cash, alumnos de NEA 2000.
Algo parecido le sucedió a Gabriela Albernaz, mamá de Guadalupe, que cursa séptimo grado en el St. George's College North, en Los Polvorines. "Al principio te sentís un poco impotente porque no sabés cómo ayudarlos. Había cuentas en las que no entendía cómo las hacía, pero ella llegaba al resultado y lo resolvía muy bien. En el colegio nos pidieron que no los confundiéramos tratando de explicarles de otra manera. Y eso hice. Creo que la clave está en que los escenarios de los problemas son de la vida diaria, y los maestros propician todo el tiempo el intercambio entre los alumnos."
Ana María Villar no fue al taller de padres de su hijo mayor, que hoy está en cuarto grado, y luego comprendió que hubiera sido de gran utilidad haber asistido. Algunos años después, cuando su hijo menor comenzó primer grado y recibió la invitación, dijo presente. "No sé si el taller ayuda a que uno como padre luego pueda ayudar a sus hijos a estudiar, pero sí es clave para comprender que hay otra forma de ver la matemática, razonando, utilizando distintos recursos y no solamente una fórmula memorizada.

 Precursores franceses
El método que se aplica en la Argentina y del cual se hacen eco tanto escuelas públicas como privadas tiene antecedentes a nivel mundial, con precursores franceses como Guy Brousseau, impulsor de la teoría de las situaciones didácticas. "Hay una intención en promover un aprendizaje significativo. Que los alumnos tengan el mayor control posible de su actividad matemática pasa en parte por entender el porqué de aquello que hacen. Las prácticas que se enseñan intentan guardar esa idea -señala Betina Duarte, directora del Departamento de Matemática y Ciencias Experimentales de la Universidad Pedagógica de la provincia de Buenos Aires (Unipe).
"La investigación en didáctica vuelve a impulsar la idea de considerar la resolución de problemas como un motor para pensar el proceso de aprendizaje. Esto tampoco significa que la memoria no se utiliza más, sino que aprender de memoria no está en la mira, básicamente, porque no contribuye a un posicionamiento autónomo de los niños". Y agrega: "Si tengo que hacer algo porque sí (como cuando la suma vertical me dice que si obtuve, por ejemplo, un 15 en las unidades entonces tengo que escribir un 1 en la columna de la decena), estoy más cerca de un acto de confianza en el docente que de un aprendizaje".
Por su parte, la directora de Currículum del Ministerio de Educación porteño, Gabriela Azar, sintetiza: "Los chicos llegan con un bagaje cultural muy grande, la información les llega de todos lados, y con esos saberes previos se los alienta a buscar estrategias resolutivas. El eje de la enseñanza de la matemática ya no es más discursivo. Y el trabajo colectivo dentro del aula es una de las claves".

Extraído de DIARIO LA NACIÓN

domingo, 22 de junio de 2014

CUMPLE DEL BLOG

Hace 5 años que he creado y empecé a publicar artículos en este blog.
Algo que comenzó como un pasatiempo   se convirtió en  una forma de comunicarme y aprender e intercambiar  con colegas de toda el habla hispana.
Puedo decirles que, a pesar de que lo hago con todo el amor, este blog no sería lo que es ni hubiera recibido los premos que obtuvo sin la ayuda de todos  mis lectores.
Gracias a el y a ustedes, me he transformado en una escritora, ¡una escritora de blogs!, que no es poca cosa 
Entonces, puedo decir que he hecho realidad un sueño.
GRACIAS!!!

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS



 LAS FIGURITAS DEL MUNDIAL.
Juan tiene 8 paquetes de 5 figuritas. 
¿Cuántas figuritas tiene?


El papá le regala a Juan 3 paquetes más.
¿Cuántas figuritas tiene ahora?

Lisandro tiene 45 figuritas.
¿Cuántos paquetes compró?

Más situaciones con figuritas.
Ignacio tenía 14 figuritas.
En el recreo perdió 6 figuritas.
¿Cuántas figuritas le quedan?

Rafa y Mario coleccionan figuritas de fútbol. 
Rafa completó el álbum. 
A Mario le faltan 35 figuritas para completarlo.
Entre los dos, pegaron 245 figuritas. 
¿Cuántas figuritas tiene cada uno?


El abuelo de Facundo le regala figuritas todos los domingos.
La primera semana, su abuelo le regaló 3 paquetes de 5 figuritas.
La segunda semana, le regaló 2 paquetes de 5 figuritas.
La tercera semana, le regaló 25 figuritas.
Pero Facundo no pudo pegar en su álbum todas las figuritas, porque algunas eran repetidas.
En las figuritas de la primera semana había 7 repetidas.
En las de la segunda semana había 5 repetidas.
En la de la tercera semana, había 8 repetidas.
¿Cuántas figuritas pudo pegar en su álbum?



viernes, 2 de mayo de 2014

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS



 EN LA JUGUETERÍA...
1.- Juan quiere comprar un tren para cada uno de sus cinco nietos. 
En la billetera tiene 4 billetes de $100 y dos de $ 20.
¿Le alcanza para comprar todos los autitos que quiere? 
 
2.- Tomás compró tres pelotas de tenis y un  auto para su hermanito.
Si en su billetera hay billetes de $100, de $50; de $20; de $10 y de $ 5.
¿Qué billetes  tiene que elegir para pagar con la menor cantidad de billetes?

 

PIEDRA, PAPEL O TIJERA

Una estrategia infalible para ganar siempre en el tradicional juego "Piedra, papel y tijera"

Las posibilidades son una de tres, pero un estudio reveló las preferencias de los jugadores que ganan y las de los que pierden. 

Piedra, papel o tijera, es un antiguo juego que se sigue utilizando para definir contrapuntos entre amigos, parejas, familiares y compañeros de trabajo. Es simple y divertido, pero un estudio determinó que existen patrones escondidos que pueden predecir quién será el ganador.
El sitio especializado arXiv.org revela que quienes ganan tienden a mantener su acción ganadora, mientras que los perdedores cambian a la siguiente acción en el orden "piedra-papel-tijera". Es decir, que anticipar estos movimientos podría ofrecer una ventaja, dicen los científicos.
Esta estrategia fue identificada en un torneo masivo de este juego en la Universidad Zhejiang en China, donde quedó clara esta estrategia: "ganar-mantener, perder-cambiar".
 
Según publica la BBC, los investigadores reclutaron a 360 estudiantes y los dividieron en grupos de seis. Cada competidor jugó 300 series de piedra, papel o tijera contra otros miembros de su grupo.
 
Como incentivo, los ganadores recibían un pago proporcional al número de victorias.
 
Esta estrategia –en la que las tres acciones son elegidas con igual probabilidades en cada serie– es conocida como equilibro de Nash, en honor al matemático estadounidense John Forbes Nash Jr.
 
En el torneo chino, en promedio, los jugadores en todos los grupos eligieron cada acción alrededor de un tercio de las veces, exactamente lo que es esperable si sus elecciones fueran al azar.
 
Pero al realizar un examen más detallado, los organizadores observaron un sorprendente patrón de comportamiento.
 
Cuando los jugadores ganaban una serie, tendían a repetir sus piedra, tijera o papel ganador más a menudo de lo que prevé el azar (una de cada tres veces).
 
Los perdedores, en cambio, tendían a cambiar de acción. Y lo hacían en el orden que impone el nombre del juego: piedra, papel, tijera.
 
Después de perder con una piedra, por ejemplo, un jugador tenía más probabilidades de mostrar papel en la siguiente serie que las que las que predice la regla de "una de tres".
 
Esta estrategia "ganar-mantener, perder-cambiar" es conocida en la teoría del juego como una respuesta condicional, que puede ser innata en el cerebro humano, dicen los investigadores.
 
Anticipar este patrón –y así derrotar al oponente– puede "ofrecer más triunfos a jugadores individuales.
 

domingo, 13 de abril de 2014

UNO DEL DR. ADRIÁN PAENZA

PARA LEER Y REFLEXIONAR...
Más allá del problema que propone el Dr. Paenza en esta oportunidad, que como siempre es atrapante, la reflexión que hace previo a plantear la situación vale la pena ser leída.
 


viernes, 14 de marzo de 2014

14 DE MARZO, EL DÍA DEL NÚMERO PI

Aunque la fecha coincide con el día de nacimiento de Albert Einstein, la razón para escoger el 14 de marzo para la celebración se encuentra en su escritura anglosajona: 3/14, que es el valor de esta famosa constante matemática.

A lo largo del día los seguidores del número Pi se reunirán para comentar anécdotas en torno a este número e intercambiarse postales y tartas conmemorativas. Se han desarrollado aplicaciones informáticas que calculan con exactitud la edad de una persona en años Pi y otras personas se reúnen para recitar todos los dígitos que se saben de memoria. Además, debido a que las primeras seis cifras de la constante son 3,14159, el momento álgido de la celebración se produce a la 1:59 horas.
La Cámara de Representantes de Estados Unidos aprobó en el año 2009 la celebración del día de Pi e instó a que colegios e institutos realicen actividades y animen a sus alumnos a estudiar matemáticas.