Enseñar Matemática por medio de la resolución de problemas se basa en el desarrollo de competencias”, y presenta un listado de las mismas:
saber argumentar,
saber argumentar,
saber cuantificar,
saber analizar críticamente la información,
saber representar y comunicar,
saber resolver y enfrentarse a problemas,
saber usar técnicas e instrumentos matemáticos,
saber modelizar,
saber integrar los conocimientos adquiridos.
Y, además, indica con claridad que “La resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar estas competencias ya que es capaz de activar las capacidades básicas del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de las soluciones, etc.
Y, a su vez, posibilita: experimentar, particularizar, conjeturar, elegir un lenguaje apropiado, probar una conjetura, generalizar, utilizar distintas partes de las matemáticas, verificar una solución, etc.”
Podemos afirmar que:
| Centrar la actividad matemática en la resolución de problemas es una buena forma de convencer al alumnado de la importancia de pensar en lo que hace y en cómo lo hace. |
Trabajando el siguiente problema trataremos de descubrir cómo van surgiendo las distintas competencias durante el proceso de su resolución.
CAMPAMENTO
¿Cuántas carpas de cada tipo pueden ser preparadas para satisfacer dicha petición?
Escribe todas las soluciones posibles y explica cómo las has hallado.
En primer lugar, es necesario tener un plan de trabajo para resolver el problema. Dicho plan se estructura en cuatro fases: comprender el problema, buscar una manera de pensar que ayude a resolverlo, ejecutar ese modo de pensar y responder a las preguntas del problema.
En ese plan se contempla trabajar en equipo, agrupando a los alumnos de diferentes maneras según la fase en que nos encontremos. En un primer momento, para comprender el problema y responder a las preguntas se debe trabajar en gran grupo (grupo clase) para conseguir una mayor participación de los alumnos y favorecer así un aprendizaje cooperativo; posteriormente. en el momento de buscar una manera de pensar y de ejecutarla, es conveniente trabajar en pequeño grupo (cuatro o cinco por clase) para propiciar la posibilidad de que cada equipo elija estrategias diferentes y que en la ejecución se puedan poner en juego distintas herramientas lógicas y conocimientos que se correspondan con las diferentes formas de pensar.
Una vez establecido este procedimiento, el profesor da inicio a la primera fase del plan:
I) COMPRENDER
En esta primera fase debemos buscar la información que nos pueda dar el problema, analizarla críticamente, clasificarla, completarla con las informaciones que nos da nuestro propio conocimiento y nuestra experiencia acerca del contexto de la situación problemática.
Mediante la lectura buscaremos la información, la cuantificaremos, la describiremos y la clasificaremos en:
Datos 122 participantes; 12 carpas de 8 personas; 12 carpas de 6 personas.
Objetivo: Cuántas mesas de cada tipo deben ser preparadas.
Relación En las carpas utilizadas no pueden quedar puestos vacíos.
Con mesas de una sola clase es imposible cumplir la condición. Podemos utilizar el conocimiento de que 122 no es divisible ni por 8 ni por 6. Por lo tanto, es necesario utilizar mesas de 8 y mesas de 6, simultáneamente.
Es muy importante que el alumno no se limite, en ningún caso, a dar los datos de manera escueta, sino que deberá justificar dónde lo ha encontrado, por qué sabe qué tipo de dato es y cómo ha profundizado en su conocimiento, argumentando de manera conveniente. El profesor ha de cuidar que todo ello se produzca.
A veces es necesario explorar o experimentar con los datos del problema, haciendo pequeñas investigaciones o particularizando a partir de los datos, unas veces para encontrar la relación (no siempre clara) y, otras, para comprender mejor la situación en el contexto.
Ahora debemos buscar una representación adecuada para condensar lo comprendido de la manera más matemática posible. Para ello podemos utilizar herramientas lógicas como: dibujos, gráficos, diagramas, gráficas, modelos, etc.
Diagrama Podríamos utilizar 12 diagramas cerrados divididos en 8 partes iguales y otros 12 divididos en 6 partes, así como las etiquetas correspondientes 8, 6 y 122 para representar los participantes.
Modelo El diagrama puede convertirse en un modelo utilizando cajas o tarjetas divididas en secciones más 122 objetos (piedras, boliches, garbanzos, …) que representen a los participantes. Este modelo puede ayudar a comprender y también ser elemento de resolución.
II) PENSAR
Hay nueve maneras de pensar (estrategias o técnicas de pensamiento); tres son de uso general: modelización, ensayo y error, organización de la información; otras cuatro de uso particular: eliminar, ir hacia atrás, buscar patrones, generalización; y otras dos auxiliares: analogía, simplificación.
Se trata, pues, de elegir las más convenientes para conseguir el objetivo a través de la comprensión que hemos obtenido en el paso anterior.
La modelización es una primera opción inmediata. Se ajusta al hecho de que podemos construir un modelo de la situación que podremos manipular más tarde para resolverla.
También podremos realizar un ensayo y error, basado en ir probando diferentes posibilidades para combinar las mesas de los dos tipos (combinatoria) hasta encontrar una distribución que se ajuste a las condiciones.
Parece evidente que cuando utilicemos la modelización habrá que hacer ensayo y error al ejecutar dicha estrategia.
Pero también podremos organizar la información utilizando lenguajes matemáticos diferentes: operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) o lenguaje algebraico (planteamiento de ecuaciones).
III) EJECUTAR
La ejecución va a depender de la estrategia elegida. Los conocimientos matemáticos puestos en juego irán en consonancia a las exigencias del modo de pensar seleccionado.
Si ha elegido modelización deberá proceder de la siguiente manera:
1. Tomará los 122 objetos y los irá distribuyendo de 8 en 8 o de 6 en 6 sobre las cajas o tarjetas según las etiquetas de las mismas.
2. Cuando los haya repartido todos, comprobará si hay una caja o tarjeta que no esté totalmente llena.
3. Tratará de jugar con los últimos objetos cambiándolos de caja o tarjeta hasta ajustar y queden todos los objetos distribuidos en cajas o tarjetas totalmente llenas.
4. Contabilizando las cajas o tarjetas tendrá una solución al problema.
Si ha elegido ensayo y error sin sistematizar deberá proceder de la siguiente manera:
1. Proceder entonces por ensayos organizados (hipótesis); por ejemplo, considerar que 12 x 8 = 96 y que, por consiguiente, utilizando todas las mesas de 8 plazas, faltarían aún 26 plazas para las cuales 4 carpas de 6 plazas no serían suficientes y una quinta mesa de 6 carpas no sería utilizada completamente.
2. Disminuir entonces el número de mesas de 8 plazas y darse cuenta (verificar) que con 10 carpas de 8 plazas y 7 carpas de 6 plazas se consigue instalar la sala según la pregunta.
3. Después de haber hallado una primera solución, es necesario pensar que podría haber otras. Este paso no es fácil que se dé. La búsqueda anterior agota y se dan por satisfechos con una solución.
Si ha elegido ensayo y error procediendo de manera sistemática deberá añadir la organización mediante el lenguaje aritmético y proceder de la siguiente manera:
1. Como comprende que ha de realizar muchos cálculos del tipo: productos por 8 y por 6 que den como suma 122, se da cuenta que debe ser sistemático y utiliza una tabla de doble entrada como herramienta lógica para organizar los distintos cálculos.
2. Diseñar la tabla con las columnas adecuadas para cada concepto y las filas necesarias para los distintos ensayos realizados.
3. Construir y rellenar una tabla del tipo:
| Carpas de 8 | Personas colocadas | Personas por colocar | Carpas de 6 | Personas sobrantes |
| 12 | 12 x 8 = 96 | 122 – 96 = 26 | 26 : 6 = 4 | 26 – 4 x 6 = 2 Error |
| 11 | 11 x 8 = 88 | 122 – 88 = 34 | 34 : 6 = 5 | 34 – 5 x 6 = 4 Error |
| 10 | 10 x 8 = 80 | 122 – 80 = 42 | 42 : 6 = 7 | 42 – 7 x 6 = 0 Correcto |
| 9 | 9 x 8 = 72 | 122 – 72 = 50 | 50 : 6 = 8 | 50 – 8 x 6 = 2 Error |
| 8 | 8 x 8 = 64 | 122 – 64 = 58 | 58 : 6 = 9 | 58 – 9 x 6 = 4 Error |
| 7 | 7 x 8 = 56 | 122 – 56 = 66 | 66 : 6 = 11 | 66 – 11 x 6 = 0 Correcto |
| 6 | 6 x 8 = 48 | 122 – 48 = 74 | 74 : 6 = 12 | 74 – 12 x 6 = 2 Error |
| 5 | 5 x 8 = 40 | 122 – 40 = 82 | 82: 6 = 13 | 82 – 13 x 6 = 4 Error |
| 4 | 4 x 8 = 32 | 122 – 32 = 90 | 90 : 6 = 15 | 90 – 15 x 6 = 0 Correcto |
4. Seguir la búsqueda, por ejemplo disminuyendo el número de mesas de 8 y aumentando el de mesas de 6. Se obtienen tres posibilidades: 10 carpas de 8 plazas y 7 carpas de 6 plazas, 7 carpas de 8 plazas y 11 carpas de 6 plazas, o 4 carpas de 8 plazas y 15 carpas de 6 plazas. Alguno puede que incluso llegue a obtener 1carpa de 8 plazas y 19 carpa de 6 plazas.
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje aritmético deberá proceder de la siguiente manera:
1. Contar el número total de plazas disponibles (12x8 + 12x6 = 148) y darse cuenta que es necesario eliminar 46 plazas (148-122) por «carpas completas».
2. Hacer esto eliminando 5 carpas de 8 personas y 1 de 6 plazas (8x5+1x6=46) o 5 carpas de 6 plazas y 2 de 8 plazas (6x5+8x2=46).
3. Por tanto concluir que en el primer caso hay 7 carpas de 8 plazas (12-5) y 11 de 6 plazas (12-1), en el segundo caso 10 carpas de 8 plazas (12-2) y 7 carpas de 6 plazas (12-5).
Si ha elegido organización mediante el uso del lenguaje algebraico deberá proceder de la siguiente manera:
1. Elegirá las etiquetas x e y para representar, respectivamente, las cantidades desconocidas de mesas de 8 y 6 plazas.
2. Escribirá la relación que exige completar la etiqueta de 122 comensales al sumar las cantidades sentadas en los dos tipos de mesas. Lo cual dará lugar a la siguiente ecuación diofántica: 8x + 6y = 122.
3. Utilizará sus conocimientos de este tipo de ecuaciones para encontrar las soluciones ya apuntadas.
Ya vemos como este paso debe acabar con la consecución de la solución o soluciones o, también, la imposibilidad de encontrar una solución.
Si no se encuentra solución pero se considera posible, habrá que considerar la revisión del plan, encontrar el origen del error y adaptar el plan buscando otras estrategias que propicien un nuevo camino de resolución.
IV) RESPONDER
Para transformar las soluciones en respuestas nos queda por hacer, en este último paso del proceso y por parte de los alumnos exponiendo ante sus compañeros, comunicando las conclusiones del trabajo, dos aspectos fundamentales:
Comprobar Hacer la verificación mediante las multiplicaciones y sumas adecuadas con los tipos de mesas de la solución y comprobar en cada caso que da 122 como total
10 carpas de 8 plazas + 7 carpas de 6 plazas = 80 + 42 = 122
7 carpas de 8 plazas + 11 carpas de 6 plazas = 56 + 66 = 122
4 carpas de 8 plazas + 15 carpas de 6 plazas = 32 + 90 = 122
1 carpa de 8 plazas + 19 carpas de 6 plazas = 8 + 114 = 122
Todas ellas verificadas y matemáticamente correctas.
Analizar cada solución en su contexto Mediante la reflexión sobre las condiciones del problema, se ve que sólo las dos primeras de estas combinaciones es aceptable, porque no hay más que 12 carpas de 6 plazas y en los otros dos casos se necesitarían 15 o 19, respectivamente.
Concluir, pues, que hay dos maneras posibles de preparar las mesas: a) 10 mesas de 8 plazas y 7 mesas de 6 plazas, o
b) 7 mesas de 8 plazas y 11 mesas de 6 plazas.
RESPUESTA: 10 mesas de 8 y 7 de 6; 7 mesas de 8 y 11 de 6, acompañada de su correspondiente explicación.
Procediendo de esta manera ante cualquier situación problemática presentada, el alumno adquiere soltura y seguridad para enfrentarse a cualquier problema real o realista, integrando todos los conocimientos, procesos y actitudes (competencias) adquiridos en su quehacer diario.
¿Y qué representan?
Pues las competencias o los elementos de las mismas que deben aparecer para que puedan desarrollarse de una manera natural con su uso frecuente y siguiendo un plan previamente establecido por el profesor. El profesor que sabe, porque así lo ha planificado, todas las competencias (saber, saber hacer y saber estar) que deben ponerse en juego velará porque así suceda, y estará pendiente, si no aparecen o tardan en aparecer, para guiar la acción y, en consecuencia, se produzca lo deseado.
El profesor es, pues, el director del proceso y su animador, interviniendo en los momentos justos para encarrilar la resolución cuando se ha producido un estancamiento, pero dejando siempre que sea el alumno el que aporte las ideas y su concreción posterior. Incluso de las ideas erróneas puede salir un aprendizaje muy fructífero, siempre y cuando se sea lo suficientemente flexible para esperar que los alumnos encuentren los fallos, los analicen, busquen alternativas y reinicien el proceso de resolución.
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