Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss

viernes, 11 de julio de 2014

LAS FIGURITAS DEL MUNDIAL

EL Dr. ADRIÁN PAENZA no responde acerca de cuántas figuritas hay que comprar y cuánto dinero cuesta para completar el álbum.

El 17 de junio de este año, cinco días después de que Brasil inaugurara el Mundial, recibí un mail de mi querido amigo y ex alumno Carlos Sarraute. Creo que vale la pena que lo lea con atención: “Te cuento un problema que tiene desvelados a los padres de niños en edad escolar en estos días: ¿cuántas figuritas hay que comprar para completar el álbum del Mundial? ¿Y cuánta plata termina saliendo? Las figuritas se venden en paquetes de 5 pero, simplificando, el problema se podría plantear así: suponiendo que las figuritas se compran de a una, que vienen distribuidas al azar (uniformemente), y que el álbum tiene lugar para 600 figuritas (en realidad son 639)... si uno no intercambia figuritas, ¿cuál es la cantidad de figuritas que hay que comprar para llenar el álbum?”.
Acá paro. Desde niño siempre tuve una pasión particular por el tema de las figuritas. En alguna parte tengo todavía los álbumes que fui coleccionando pero, curiosamente, ¡nunca pude completar ninguno! Más allá de que me digan que ahora eso no sucede, que las figuritas se imprimen todas por igual, que las planchas reproducen las caras de todos los jugadores uniformemente, que no hay preferencias, que no hay jugadores “distinguidos” (para que salgan más o salgan menos), me cuesta trabajo imaginarme que sea cierto... pero, como no conozco el tema, quiero hacer de cuenta que eso no sucede más.
Lo que sí puedo garantizar es que en la época en la que yo era niño (sí, ya sé, hace tanto tiempo que la gente tenía que “saltar” por la calle porque la Tierra aún estaba caliente...), decía, en esa época, seguro que había figuritas difíciles. Recuerdo dos casos en particular: uno fue el de José Manuel Ramos Delgado, “zaguero” derecho de Lanús (y de River y del Santos de Brasil, compañero de Pelé en algún momento, y del seleccionado argentino), y Julio San Lorenzo (ex jugador de Nueva Chicago, Racing y que también jugó en Banfield). Sus figuritas fueron imposibles. No sólo eso: creo que una vez vi una de Ramos Delgado pero de San Lorenzo no... nunca. Y es por eso que ese álbum nunca lo pude terminar. Y como ese ejemplo, estoy seguro de que cada uno que se haya acercado al fútbol de alguna manera tiene su propia anécdota para contar. Tanto debe ser así que, si no, el dicho “figurita difícil” no tendría sentido de existir.
Por otro lado, no sé cuán popular se hizo el caso de un jugador de Costa Rica que está participando de este Mundial, Joel Campbell, quien se compró 100 paquetes (de cinco figuritas cada uno) para poder “tenerse a sí mismo”, pero ¡no tuvo suerte! Si bien en total son 639 jugadores, teniendo 500 de una sola vez Campbell pretendió aumentar muchísimo su probabilidad de conseguir la propia, pero no lo logró.
Ahora, quiero volver al problema. Antes de avanzar con la cuenta, me interesa hacerle a usted una pregunta: si uno se decidiera a no cambiar figuritas con sus amigos, no recurrir a una plaza un sábado por la tarde o domingo por la mañana o a Facebook o fijarse en las páginas de Internet para encontrar personas que como usted están buscando conseguirlas todas... sólo imagine que usted tiene el dinero suficiente como para comprar un número grande de paquetes: ¿cuántas figuritas –o paquetes– estima que tendría que conseguir para poder llenar el álbum?
Es importante el detalle de no intercambiar figuritas con nadie, porque mi objetivo es “cuantificar en dinero” lo que hay que invertir para tener una esperanza razonable de completar el álbum.
Antes de avanzar con la cuenta, necesito que usted y yo establezcamos un acuerdo: yo quiero hacerle acá un par de preguntas. Como usted no está conmigo para contestarlas, lo voy a hacer como si estuviéramos juntos, pero le pido que no avance en la lectura si no está satisfecho con las respuestas que usted “me dio”. Acá voy.
En principio, si fuéramos a tirar una moneda al aire, ¿cuántas veces cree usted que deberíamos arrojarla para tener una buena expectativa de que salga cara? Naturalmente, no hay garantías de que salga cara aun tirándola cien veces, porque podría darse una secuencia de cien “cecas” consecutivas, pero la pregunta apunta hacia lo que podríamos “aspirar” o “esperar” que suceda. La/lo dejo pensando por un momento.
Sigo yo: creo que escuché que me decía que “con dos tiros” deberíamos estar contentos, porque como hay dos “lados posibles” (cara y ceca), y la probabilidad es 1/2 en cada caso, entonces, si la arrojamos al aire dos veces, entonces podríamos imaginar que una de las veces salió cara.
De la misma forma, si tuviéramos un dado, la probabilidad de que salga –por ejemplo– un cuatro, es 1/6. En realidad, la probabilidad de que salga cualquier número es 1/6, no importa cuál sea. Entonces, vuelvo a hacerle la misma pregunta, pero referida a un dado: ¿cuántas veces habrá que tirar el dado para sentirnos más o menos cómodos de que tenemos una buena posibilidad de que el número que hemos elegido “salga”?
¿Cómo dijo? No escuché bien... ah, sí, tiene razón: seis veces. Uno tiene “derecho” a esperar que si tira un dado seis veces, entonces, en una de esas veces el lado del dado que aparece es un cuatro.
Una observación más que voy a necesitar un poquito más adelante. Como usted advierte, cuando la probabilidad (en el caso de la moneda) era de 1/2, me alcanza con tirar dos veces la moneda al aire, y no sé si usted prestó atención pero se puede hacer esta cuenta:
1/(1/2) = 2
¿Por qué hice esa cuenta? Para mostrarle que si la probabilidad es 1/2, la cantidad de veces que tengo que tirar la moneda es uno dividido por esa probabilidad. En el caso del dado, la probabilidad de que salga un cuatro es 1/6. Usted estuvo de acuerdo conmigo que había que tirar el dado seis veces para estar confiados en que nos va a salir un cuatro. Ahora, le sugiero que piense conmigo: si uno hace uno dividido por la probabilidad de que salga un cuatro, resulta ser:
1/(1/6) = 6.
Es decir, en ambos casos sucede algo curioso: cuando uno quiere saber cuántas veces tiene que tirar la moneda o el dado, lo que tiene que hacer es la siguiente cuenta: uno dividido por la probabilidad de que suceda lo que quiero. Recuerde este hecho porque lo voy a usar casi en forma inmediata.
Quiero ahora empezar con el caso de las figuritas. Para hacer las cuentas más fáciles voy a suponer que en lugar de venderse en paquetes de a cinco se venden por unidad, y en lugar de valer cinco pesos por paquete vale un peso cada figurita. Está claro que estoy modificando la realidad, pero a los efectos de lo que quiero hacer eso resulta irrelevante.
Sigo. En principio, supongamos que en lugar de haber 639 figuritas en el álbum hubiera nada más que tres. Estamos por empezar a comprar figuritas y queremos estimar cuánto dinero nos hará falta invertir para completar un álbum de tres figuritas. Si compro la primera figurita, seguro que “no la tengo”, por lo que la probabilidad de que la pegue en el álbum es uno o, lo que es lo mismo, un ciento por ciento. Es decir, un peso tendré que invertir seguro para la primera figurita.
Ahora bien. Una vez que pegué la primera figurita, me faltan dos para completar el álbum. Si yo comprara una figurita solamente, ¿cuál es la probabilidad que sea una de las dos que me falta? La probabilidad es 2/3, porque de las tres posibles, dos me vienen bien. Es decir en dos casos sobre tres posibles obtendría una figurita que me sirve y es por eso que la probabilidad es 2/3. Ahora quiero usar lo que le pedí que recordara: para saber cuántas veces tenía que tirar la moneda al aire o arrojar el dado, lo que había que hacer es uno dividido la probabilidad. En el caso de las figuritas, como la probabilidad de que salga una de las dos que quiero es 2/3, entonces el número de figuritas que tengo que comprar se calcula como:
1/(2/3) = 3/2 = 1,5.
O sea, hasta acá tuve que comprar una figurita (cuando no tenía ninguna en el álbum), ahora tengo que comprar 1,5 más. Para terminar, me falta una figurita (porque se supone que ya pegué dos). ¿Cuál es la probabilidad de que me salga si compro un paquete? Esa probabilidad ahora es 1/3, porque sobre las tres figuritas que pueden aparecer, me sirve solamente una. Como antes, ¿cuántas figuritas (o paquetes) tengo que comprar? Pues bien, tengo que dividir:
1/(1/3) = 3.
Es decir, que ahora tengo que comprar tres figuritas más. Juntando todo, tuve que comprar:
1 + 1,5 + 3 = 5,5 figuritas (si esto fuera posible, porque uno no puede comprar media figurita).
Ahora, con la misma idea, volvamos a la realidad de las 639 figuritas. La cuenta que hay que hacer para saber cuántas figuritas tengo que comprar para llenar el álbum se hace de la siguiente forma:
639/639 + 639/638 + 639/637 + .... 639/3 + 639/2 + 639/1 = 4.497,21 figuritas.
Este dato es muy interesante, porque entonces uno deduce que si cada figurita cuesta un peso, el dinero que hay que invertir –sin intercambiar figuritas con nadie– es de casi $4500 para llenar el álbum. ¿Sabrán los chicos lo que cuesta? Mejor aún: ¿sabía usted qué dinero anda en juego cuando uno habla de algo tan inofensivo como un álbum de figuritas?
No sé cuánto le importa a usted, ni cuán significativo es para los niños, pero de lo que sí estoy seguro es de que la compañía que los imprime hizo bien los deberes y toooooodos los cálculos, sin ninguna duda.

De: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-250187-2014-07-06.html

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