REGULARIDADES NUMÉRICAS

• Proponer a los alumnos el siguiente problema:

Quiero repartir entre 7 niños tanta cantidad de dinero como la suma de los productos de la tabla del 7. ¿Cuál es esa cantidad de dinero? ¿Cuánto le daré a cada uno?

• Analizar distintas estrategias empleadas para averiguar esa suma. Por ejemplo: Sumar en orden los números del 1 al 10 y luego multiplicarlos por 7 o sumar en orden los productos de la tabla del 7.
• Plantear la siguiente pregunta: ¿Cómo harían para calcular mentalmente, de manera más práctica esa suma?. Seguramente los alumnos propondrán distintas estrategias: Formar 5 veces el 70 y agregar el número que queda solo, agrupar para hacer grupos de 70.
• Registrar las distintas soluciones.
• Plantear un nuevo problema:

Si en lugar de repartir entre 7, quisiera repartir entre 6 niños tanta cantidad de dinero como la

suma de los productos de la tabla del 6. ¿Le daría más o menos a cada niño? ¿Por qué?

• Antes de resolver, escribir las distintas hipótesis que plantean los alumnos.
• Comprobar con otras tablas
• Institucionalizar la generalización:

Producto mayor x 5 + mitad del producto mayor

P. M x 5 + P.M / 2

• Finalmente, proponer c
  alcular la suma de los

  productos en todas las

  tablas, aplicando la

  generalización obtenida.
• Observar variables y

  constantes.
• Posibles conclusiones:

Siempre nos quedan 5 agrupamientos ( x 5)

Siempre le sumamos la mitad del producto mayor.

La distancia entre dos resultados consecutivos es 55.

Todos los resultados son múltiplos de 5.

Averiguar cuánto suman los números naturales del 1 al 100

• Observar las estrategias que van empleando para su resolución.

POSIBLES ESTRATEGIAS PLANTEADAS:

•Escriben todos los números del 1 al 100.

•Hacen filas y suman por filas

•Suman una mitad y lo multiplican por 2.

•Emplean la generalización planteada anteriormente.

• Analizar las estrategias empleadas y descartar las erróneas.

Bibliografía: Adrián Paenza: Matemática… ¿estás ahí?

DESAFÍOS CON CALCULADORA

EL USO DE LA CALCULADORA EN LA ESCUELA PRIMARIA

• Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la misma (Primero, segundo y tercer ciclo de la Escuela Primaria).

1.- Si oprimimos en la calculadora las siguientes teclas: 25 + = ¿Qué número aparece? ¿Sucede lo mismo con todas las calculadoras?

2.- Y si oprimimos 25 + = = ?¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = después del 25 para que aparezca en el visor el número 200?

3.- ¿Qué aparecerá en la pantalla si oprimimos 36 – 6 = = ?. ¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = para que aparezca el número 0?

4.- Si oprimen en la calculadora 10 x = ¿Qué número aparece? ¿Cuántas veces habrá que oprimir la tecla = para que aparezca 1.000.000?

5.-Si oprimen en la calculadora 25 : 5 = = ¿Qué número aparece?. Y si oprimen 3125 : 5 = = .. ¿Cuántas veces hay que oprimir el = para que aparezca el 1?

6.-Realicen el siguiente cálculo con calculadora común y con calculadora científica:

3x4+4x5 =

¿Cómo explican que se obtengan diferentes resultados? ¿Cuál es correcto y por qué? ¿Cómo hacer estos cálculos con la calculadora común?

7.-

Lista de precios:
Juegos para computadora $ 14
Libros de texto de 1er ciclo $ 29
Libros de texto de 2do ciclo $ 35
Calculadoras $ 12
Compases $ 3

La presidente de la cooperadora de la escuela averiguó utilizando la calculadora que le alcanza con $800 para comprar 5 libros de texto de primer ciclo, 7 libros de texto de 2do ciclo, 20 calculadoras y 20 compases. ¿Qué cuentas pudo haber hecho? Anotalas y hacelas con la calculadora.

• La calculadora para aprender más sobre las propiedades de las operaciones. (Primero y segundo ciclo de la Escuela Primaria).

1.- Buscar usando la calculadora qué número hay que sumarle a 17 para obtener 30.

2.- Resolver usando la calculadora:
34 x .........= 748
120 : ....... = 6

3.- Escriban en el visor de la calculadora el número 55. Con una única resta lograr que aparezca 45, luego 35, luego 25, etc.

4.- Coloquen en el visor de la calculadora el número 37. Haciendo únicamente una suma, logren que aparezca en el visor el número 100.

5.-Completar el número que falta y verificar con calculadora:

25 x ___ = 100 25 x ___ = 1.000 25 x ___ = 10.000 25 x____ = 100.000

6.- Anotá un número en la calculadora, hacé seis cuentas y tenés que obtener el mismo número que anotaste al principio. Anotá en el cuaderno todos los cálculos que vas haciendo. Si no te sale, volvé a empezar.

7.-En una calculadora se tecleó 35 x 100, pero se cometió un error ya que se quería multiplicar por 50. ¿Cómo corregirlo sin borrar lo que ya está?

8.- Escribí un número de dos cifras en la calculadora. Restale 3 todas las veces que puedas. Ganás si en algún momento aparece en el visor el número 0.

9.-Encontrar con la calculadora números que al dividirlos por 13, se obtenga resto 6.

10.-Buscar cálculos en los que el divisor sea 6 y el resto 4.

11.-Buscar con la calculadora cuál es el resto de 3456 dividido por 15.

12.-Realizar la suma 50 + 50 sin usar la tecla del 5.

13.-Realizar la resta 37 – 15 sin usar la tecla del 5.

14.-Si tenés que hacer con la calculadora 124 + 134 y no funciona la tecla del 4 ¿qué otras cuentas podés hacer para obtener el resultado?.

15.-Realizar la multiplicación 50 x 22 sin usar la tecla del 2.

16.-Realizar la división 2580 : 4 sin usar la tecla del 4.

17.-Realizar la división 3522 : 6 sin usar la tecla del 6.

18.-Entre estas cuentas hay algunas falsas y otras verdaderas. Marcá las que creés que son falsas, justificá por qué lo creés y verificalo con la calculadora:

a)2424: 6 = 44
b)2424: 6= 404
c)2424: 12 = 22
d) 2424: 12= 202

• La calculadora para resolver problemas que amplíen los significados de las operaciones (Primero y segundo ciclo de la Escuela Primaria).

1.- Andrés está leyendo un libro de 89 páginas y va por la 34. ¿Cuántas le faltan?

2.- Estoy en el número 1000, doy saltos para atrás de 7 en 7 ¿Cuál es la mayor cantidad de saltos que puedo dar antes de pasar el 0?

3.- Resolvé los siguientes problemas con la calculadora pero no te olvides de anotar en la hoja las cuentas que vas haciendo:

a.- Martina tiene en su álbum 45 figuritas. Un día Malena le regala 4 figuritas más. Ese mismo día Martina pierde 2 figuritas y le regala a Camilo 4.
¿Cuantas figuritas tendrá al finalizar el día?

b.- Un camión que reparte gaseosas baja en el primer local 35 bolsas en las que vienen 6 botellas en cada una; en el segundo local 56 cajones con 12 botellas cada una y por último 17 cajones con 24 gaseosas cada una. Si en el camión había 1500 gaseosas ¿alcanza para bajar ahora 144 botellas más en otro negocio?

• La calculadora para aprender más sobre los números naturales (Primer y segundo ciclo de Escuela Primaria)

1.- Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 4 por otro número pero que el 3 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

2.-Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 3 por otro número pero que el 4 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

3.-Escribir en la calculadora el número 534. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 5 por otro número pero que los otros queden igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

4.-Si tenés en la pantalla de la calculadora el número 134 ¿qué calculo tenés que hacer para obtener 104? (Con una sola cuenta).

5.-Transformar el 1987 de la pantalla de la calculadora en 1007 con una sola cuenta.

6.-Convertir el 456.678.987 en 400.000.007 o en 450.078.907 en cada caso con un solo cálculo.

7.- Coloquen en el visor de la calculadora el número 123. ¿Qué harían para que aparezca el número 100 sin borrar?

8.- Malena tecleó en la calculadora el número 24, pero se confundió y quería que apareciera el 124. ¿Qué puede hacer sin borrar todo para cambiarlo?

9.-En la calculadora de Camilo quiero hacer 222 + 32 pero no funciona la tecla del 2. ¿Cómo puedo resolverlo sin usar esa tecla?

• Y problemas en los que se apunta a una descomposición aditiva como por ejemplo:
  

1.- ¿Cómo harían para obtener con la calculadora el número 245 usando únicamente las teclas 0 , 1 y las operaciones que necesiten? En este caso se espera que los alumnos puedan considerar que el 245

2.- Obtené en la calculadora el número 3456 usando solamente los números del 1 al 9, 10, 100 y 1000 y los signos + y x.

3.- Escribir en la calculadora el número 5,34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 5 por otro número pero que los otros queden igual? ¿Y para que cambie el 3? ¿Y para que cambie el 4? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora”

4.- Escribir en la calculadora el número 3,4. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie la coma de lugar? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora.

5.-Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que se transforme en 3, 4?¿Y en 0,34? Anotalas en la carpeta y probá con la calculadora.

6.-Si tenés en la pantalla de la calculadora el número 13,54 ¿qué calculo tenés que hacer para obtener 13, 04? (Con una sola cuenta).

7.- Transformar el 1,987 de la pantalla de la calculadora en 1,007 con una sola cuenta.

8.-Convertir el 456.678,987 de la pantalla en 400.000,007 con un solo cálculo.

9.-Convertir el 456.678,987 de la pantalla en 450.078,907 con un solo cálculo.

10.-Marcelo tecleó en la calculadora el número 0,24 pero se confundió y quería que apareciera el 2,4. ¿Cómo puede transformar el número con una sola operación?

11.- En la calculadora quiero hacer 2,22 + 2,2 pero no funciona la tecla del 2. ¿Cómo puedo resolverlo sin usar esa tecla?”

12.-El precio de una camisa es de $ 14. Sufre un incremento del 16%. ¿Cómo determinarías el nuevo precio usando la calculadora?. Para resolver este problema, 26 muchos empleados de comercios hacen lo siguiente, con una calculadora común: 14 x 1.16 = , obteniendo directamente el nuevo precio. ¿Podrías explicar por qué, realizando dicha cuenta, se obtiene directamente el nuevo precio?”

13.-Tecleá en la calculadora el número 28. ¿Qué habría que hacer con la máquina para que aparezca el número –1 sin borrar nada?

14.- En la calculadora científica, si tecleamos 24 + 6 x 4 = aparece en el visor de la máquina el 48. ¿Se podrá teclear en la calculadora el número 24 y sumarle un producto entre dos números enteros, de manera tal que el resultado que arroje la máquina sea 0?

Bibliografía:
APORTES DIDÁCTICOS PARA EL TRABAJO CON LA CALCULADORA EN LOS TRES CICLOS DE LA EGB- Documento Nº 6 - Año 2001- Provincia de Buenos Aires.

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS PARA LOS PRIMEROS GRADOS

• Observa el diagrama y calcula el valor de cada artículo.

PENTOMINÓ: UN BUEN RECURSO PARA EL AULA

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NUEVOS DESAFÍOS

• Alrededor de la piscina de 4 x 7 se quiere colocar césped artificial. Para ello disponemos de piezas que tienen la forma de los pentominós. Sin cortar ni superponer ninguna pieza debes cubrir todo el campo.

Por favor, ayuda a colocar el césped

• Construir en el geoplano todas las figuras posibles formadas por 4 triángulos rectángulos de igual superficie, unidos por los catetos o por la hipotenusa.

Ayudita: Se pueden construir más de 10 figuras diferentes. ¡Adelante!!!

PENTOMINÓ: UN BUEN RECURSO DIDÁCTICO PARA EL AULA

JUEGO Y MATEMÁTICA

¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados del mismo tamaño? Una forma es la siguiente:

A esta y las otras posibles configuraciones se les conoce como pentominós. En total son 12 maneras distintas de acomodar juntos, al menos de uno de sus lados, cinco cuadrados.

Los pentominós o 'juego de pentominós' fueron presentados al mundo matemático en 1954 por un catedrático de la Universidad del Sur de California, Solomon W. Golomb. En 1957, la revista Scientific American publicó un primer artículo sobre ellos. Desde entonces se han convertido en un pasatiempo popular, además de propiciar diversas investigaciones y resultados.

Con las doce piezas del juego de pentominós se pueden plantear y resolver un gran número de problemas. Precisamente eso es lo que los ha convertido en un interesante enigma.

Antes de continuar leyendo, propongo que como primera actividad con el juego de pentominós, los lectores descubran las 12 piezas.
En un comienzo, puede resultar un poco difícil dar con todas ellas, ya que una misma pieza puede ubicarse en diferentes posiciones y aparentar ser distinta. Hay que descubrir cuándo se está repitiendo una pieza, y tener cuidado si alguna está rotada o reflejada, porque esto puede hacernos creer que se trata de otra pieza. ¡Suerte!

El pentominó es entonces un juego de 12 piezas que conforman gran número de acertijos del tipo de los rompecabezas. Uno de los aspectos más sorprendentes de este juego es que se pueden acomodar todas las piezas juntas de maneras inesperadas.

Quizá resulte difícil imaginar que con las 12 piezas se puede formar un rectángulo; más aún, que existe una gran variedad de formas diferentes en que las 12 piezas pueden ser acomodadas juntas. Por ejemplo, el rectángulo arriba mostrado está compuesto por las 12 piezas. Mide seis cuadrados de ancho y diez cuadrados de largo, por lo que tiene, entonces, un área de 60 cuadrados. Existen más de 2000 soluciones distintas para armar ese rectángulo. Sorprendente, ¿verdad? Habrá que intentar encontrar otras de las soluciones.

Cómo construirlo

El juego de pentominós se puede construir con madera u otros materiales más fáciles de trabajar, como cartoncillo, fomi o cartulina. Recomiendo hacerlo a partir de un rectángulo que guarde la proporción de 6 x 10 unidades para trazar en su interior la solución dada arriba y, a partir de ésta, recortar cada una de las piezas -sin olvidar que previamente se trabaje la actividad de descubrir los 12 pentominós que lo integran.

Se sugiere hacer un rectángulo de 20 cm x 12 cm para obtener un juego de pentominós a escala 2:1 en las dimensiones de longitud, tamaño adecuado para manipular las piezas.

Ahora nos detendremos a hablar de las piezas. Para identificar cada una de ellas es común que se les asignen nombres de letras, como hizo el mismo Solomon W. Golomb, para poder designarlas y recordarlas con facilidad. Veamos:

Solomon identificó cinco de las piezas con algunas de las letras de la palabra FILiPiNo, y las siete restantes con las últimas siete letras del alfabeto: T, U, V, W, X, Y, Z. Esa es una regla nemotécnica que permitirá familiarizarse con cada pentominó.

Actividad I

Simetría

Una de las actividades que se pueden realizar luego de haber descubierto las 12 piezas, y que nos será de mucha ayuda al intentar resolver los acertijos, se relaciona con simetría. El ejercicio consiste en resolver las siguientes cuestiones (las respuestas se encuentran al pie de página):

a)¿Cuáles piezas tienen ejes de simetría, y cuántos ejes tiene cada una? Resolver este problema nos será de gran utilidad, ya que las piezas con ejes de simetría no necesitan ser volteadas, pues son figuras simétricas, y como da igual colocarlas de un lado o de otro, el número de posibilidades se reduce.1

b)¿Cuáles de las piezas tienen simetría de rotación; es decir, cuáles de los pentominós permanecen como estaban al ser rotados medio giro (180º)?2

c)¿Cuáles son todas las posibles posiciones de los pentominós que no tienen ejes de simetría ni simetría de rotación? A menudo ocurrirá que resulta mejor dejar hasta el final los pentominós asimétricos, ya que cuando llegue el momento de acomodarlos habrá un mayor número de maneras diferentes de ponerlos.3

Actividad II

Área y perímetro

Una vez identificadas todas las piezas y su relación con la simetría, otro problema que se puede plantear, y a partir del cual podremos diseñar diferentes actividades, es construir rectángulos.

a)Si tomamos el cuadrado que compone al pentominó como unidad de medida de superficie, ¿cuál es el área de cada pieza y cuál su perímetro?

b)Con las piezas del pentominó construya: 3 piezas, 4 piezas, 5 piezas, 6 piezas, etc., hasta 12 piezas, y forme todos los rectángulos posibles. Determine las dimensiones, el área y el perímetro de cada rectángulo que forme.

Al realizar esta actividad se pueden sugerir algunas preguntas. Por ejemplo, en el caso del rectángulo construido con 4 piezas, cuya área es de 20 unidades cuadradas, ¿puede decir cuáles son sus posibles dimensiones? La respuesta es 2 x 10 y 4 x 5; entonces, ¿será posible construir ambos rectángulos? Y así, para cada rectángulo, a partir del número de piezas utilizadas. Es decir, habrá que determinar las diferentes dimensiones, en los casos que se pueda, de los rectángulos de cierta área.

Presentamos a continuación una tabla con los resultados de algunos de los rectángulos.

Esta es sólo una pequeña muestra de actividades que se pueden llevar a cabo con el juego del pentominó. Su alcance como material didáctico es vasto; como juego es enigmático, sorprendente y muy divertido.

1 Respuesta: I, T, U, V, W, X.

2 Respuesta: I, X, Z.

3 Respuesta: F, L, N, P, Y.

Bibliografìa

GARDNER,Martín, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza, Madrid, 1972.
BRANDRETH,Gyles P., Acertijos fantásticos, Selector, Mèxico, 1990.

REGULARIDADES NUMÉRICAS.

EL INTRUSO

Consideremos la sucesión numérica:

1 – 2 – 4 – 7 – 8 – 10 – 13 – 14 – 15 – 19 – 20 – …

Uno de los números de la sucesión se ha colado sustituyendo a otro, ¿cuál es y qué número debería ser?

DESCUBREN UN LENGUAJE PERDIDO USANDO LAS MATEMÁTICAS

La elaboración de los símbolos y representaciones ornamentales de animales tallados en piedra por un antiguo pueblo escocés han dejado de ser un secreto gracias a las matemáticas. El análisis estadístico de las formas artísticas reveló que son un lenguaje escrito ya olvidado. El método podría ayudar a interpretar muchas escrituras enigmáticas, e incluso analizar la comunicación animal.

Se usaron métodos estadísticos convencionales para analizar secuencias de comandos de cálculo de la entropía, o sea, «desorden» de los símbolos: la prosa de Shakespeare tendría una entropía más alta que los jeroglíficos egipcios o el código Morse, por ejemplo. Sin embargo, este análisis sólo funciona con conjuntos de datos lo suficientemente grandes como para capturar la mayor parte del vocabulario de una lengua.

Para sortear este problema, Rob Lee, de la Universidad de Exeter, Reino Unido, y sus colegas han ideado una manera de comparar los textos conocidas con pequeños trechos de escritura, ya conocidos pero no descifrados. El equipo comparó los creados por los pictos —una civilización que floreció en Escocia en la Edad de de Hierro, entre los siglos IV y IX de nuestra era— con textos conocidos, modernos y antiguos, en más de cuatrocientos idiomas.

Los investigadores estandarizaron los textos mediante el cálculo de la relación entre pares de caracteres y caracteres aislados. Entonces aplicaron a este término un segundo cálculo, para ver cuántas veces se repite un grafismo. Los caracteres de los pictos resultaron ser mucho menos repetitivos que las grafías pictóricas y códigos, lo que indica que se trata de un lenguaje escrito, y no imágenes religiosas ni símbolos heráldicos, como se había creído hasta ahora.

La parte siguiente del cálculo pone de manifiesto la diferencia entre las palabras, sílabas y letras. Símbolos pictos que fueron contrastados con textos analizados a nivel de palabras enteras resultaron ser comparables a una lengua moderna, con un vocabulario reducido. «Es equivalente al lenguaje empleado en los libros infantiles para aprender a leer», dice Lee.

El significado de las palabras Pictish sigue siendo un misterio, pero los investigadores sospechan que las piedras son monumentos a los muertos. En el Reino Unido se hallaron piedras talladas en inglés antiguo y en latín.

Katherine Forsyth , una experta en símbolos pictos en la Universidad de Glasgow, está encantado con los resultados. «Esto confirma exactamente lo que yo había deducido, pero utilizando un método riguroso y libre de contexto», dijo.

Rajesh Rao , de la Universidad de Washington en Seattle es también un entusiasta. El año pasado se utilizó el análisis de la entropía para estudiar la secuencia de comandos sin descifrar de la civilización del valle del Indo antiguo y llegó a la conclusión de que era una lengua escrita .

Lee y sus colegas ahora están dispuestos a analizar otras antiguas escrituras sin descifrar, como las marcas de «taza y anillo» halladas en el el norte de Reino Unido y los petroglifos escandinavos de la Edad del Bronce.

Creen que la técnica también podría adaptarse para analizar la comunicación animal, la evaluación de la cantidad de significado que los delfines pueden transmitir con su silbato, por ejemplo.

Texto traducido mediante el servicio de Google y ajustado por un traductor humano

Extraido de NEW SCIENTIST