SECUENCIAS

Observa las distintas secuencias de figuras. Trata de completar la última siguiendo el criterio lógico según el cual se construyó toda la serie

ROMPECABEZAS

Una vez más, El Dr. Paenza nos hace fácil algo que parece muy difícil.

El siguiente problema pareciera no tener nada que ver con la matemática. Al menos con la concepción clásica que tiene (¿tenía?) asociada a la matemática con los números y saber hacer cuentas. Creo que esa percepción está cambiando. De todas formas, quiero plantearle algo “divertido”.

Usted, como yo, ha visto muchísimos rompecabezas en su vida. Con más o menos piezas, más o menos difíciles de resolver. Algunas veces habrá tenido paciencia para armarlos, otras no. Algunas otras veces habrá ayudado a un niño, y otras veces habrá sido usted el niño.

Usted también sabe que hay rompecabezas cuya solución implica invertir muchísimo tiempo, aunque más no sea porque involucran ensamblar un número enorme de piezas. Hay gente que los empieza a armar arriba de una mesa, y se pasa semanas (si no meses) hasta que lo termina. Para algunos, es incluso un pasatiempo o un hobby.

Por supuesto, cada uno establece una estrategia que no tiene por qué ser la misma para cada rompecabezas y, quizás, uno ni siquiera sabe que la tiene. Por ejemplo, uno puede empezar por los bordes, o buscar colores parecidos, o aquellos que tienen algún patrón en común.

No sé si habrá gente que es profesional en el armado de rompecabezas, pero creo que cada uno de los que está leyendo esto sabe bien a qué me refiero. Más aún: en el proceso de resolución, muchas veces uno ensambla distintos bloques y, después, casi sin proponérselo, puede pegar un bloque con otro. Es decir, no siempre se trata de ir armando un bloque cada vez más grande al que uno le va agregando una pieza por vez.

Sólo para ponernos de acuerdo con los nombres, voy a llamar “bloque” tanto a las piezas más pequeñas (cuando está todo desarmado), como a cualquier grupo de piezas que ya estén interconectadas.

En realidad, para ser técnicamente correctos, uno tendría que decir que una “pieza” es un “bloque de una sola pieza”.

Al mismo tiempo, voy a decir que hago una “jugada” cada vez que logro ensamblar dos bloques. O sea, cada “jugada” que hago implica que tengo menos piezas o bloques sueltos.

Supongamos entonces que uno está frente a uno que tiene 5000 piezas. Sí, cinco mil. Como verá más adelante, el número de piezas no tiene importancia, pero por ahora –para fijar las ideas– digamos que son cinco mil.

Dicho todo esto, ahora sí, dos preguntas:

a) ¿Cuál es el mínimo número de “jugadas” que uno tiene que hacer para poder armar el rompecabezas de 5000 piezas?

b) ¿Qué estrategia puede diseñar usted para que, si uno sigue los pasos que usted indique, quede armado el rompecabezas en ese número mínimo de jugadas?

Una última cosa: no permita que lo confunda todo lo que yo escribí acá arriba. Es algo muy sencillo: uno tiene un rompecabezas con piezas que, al principio, están todas separadas. Se trata de conectarlas. Las preguntas son: ¿cuál es el número mínimo de movimientos o jugadas que hay que hacer para armar el rompecabezas? Y, por otro lado, ¿cuál es la estrategia que garantiza que uno lo arme en ese número de movidas?

Solución

La única gracia que tiene este problema es tratar de resolverlo uno. Encontrar o no la solución resulta irrelevante. Si quiere, puede leerla ahora (la solución), pero no se prive del placer de poder pensarlo en soledad. Igualmente, acá va.

Pongámonos de acuerdo en un par de hechos:

a) El número inicial de piezas (o bloques) es 5000.

b) El número final de bloques es uno. Cuando ya esté armado todo, queda un solo bloque (grande, pero uno).

c) Cada movida reduce el número de bloques libres en uno. Es decir, cada vez que ensamblo dos bloques, hay un bloque libre menos.

Dicho todo esto, piense conmigo lo siguiente: no bien empiezo a armar el rompecabezas, mi primera jugada significa conectar “dos bloques”. Si originalmente había 5000, ahora, hay 4999. Y en el próximo paso, o en la próxima jugada, quedarán 4998. Y así siguiendo.

¿Quiere leer nuevamente las preguntas que propone el problema? ¿No tiene ganas de pensar las respuestas por su cuenta, sin leer lo que sigue más abajo?

Ahora creo que estamos en condiciones de contestar las dos preguntas.

Por un lado, como hay 5000 piezas y cada jugada reduce en uno el número de bloques, eso significa que no se puede resolver en menos de 4999 pasos. Es que para ir teniendo cada vez menos bloques uno necesita ir ensamblándolos de a uno por vez.

Ahora bien: ¿qué estrategia diseñar para que uno pueda armar el rompecabezas en esos 4999 pasos?

Lo interesante es que no importa qué estrategia uno diseñe, todas involucran 4999 pasos. Así como no se puede hacer en menos, tampoco se puede hacer en más (salvo que uno arme y desarme constantemente, lo que descarto porque supongo que la idea es resolver el problema y no complicarlo).

Entonces uno piensa que cada vez que armó algo no vuelve para atrás (o sea, no los de-sarma), por lo tanto cualquier proceso de armado que elija tiene ¡exactamente 4999 pasos! ¿No es raro esto? ¿E interesante a la vez?

Y con esto último quedan contestadas las dos preguntas.

Tengo un pequeño agregado: ¿y si en lugar de 5000 piezas fueran 10.000? ¿Cuál sería el mínimo número de pasos y qué estrategia usar para el armado que involucre ese número?

Respuesta: Como usted habrá advertido ya, el hecho de que sean 5000 o 10.000 no interesa. En realidad, el número mínimo de pasos para armar el rompecabezas es ahora de 9999. Por otro lado, cualquier estrategia para resolverlo que involucre no volver para atrás requiere de exactamente de esos 9999 pasos. Más en general aún: si uno tiene un rompecabezas con cualquier número de piezas, digamos n piezas, en donde n es un número cualquiera, la cantidad mínima de pasos (o jugadas) para armarlo es de (n-1). Y cualquier estrategia que uno elabore y que sirva para completarlo requiere de esos (n-1) pasos.

Por último, por supuesto que el artículo no enseña a armar un rompecabezas. Tampoco me lo proponía. En todo caso, lo que dice es que cualquier estrategia que a usted le haya servido para armarlo es buena, en el sentido de que inexorablemente usted habrá usado el mínimo número posible de pasos para armarlo. Ahora bien, la pregunta que no puedo contestar es si el tiempo que le llevó es el óptimo (o mínimo). Eso no lo puedo predecir pero, en definitiva, ¿qué importancia tiene?

Publicado el 24 de junio de 2010 en la Sección Contratapa de Página 12

MANDALAS- 2da Parte

¿Qué son los Mandalas?

La última edición del Diccionario de la Real Academia Española dice acerca de "mándala o mandala: (Del sánscr. mánda/a, disco, círculo). 1. m. En el hinduismo y en el budismo, dibujo complejo, generalmente circular, que representa las fuerzas que regulan el universo y que sirve como apoyo de la meditación". Pero los mandalas son mucho más que eso, y trascienden al hinduismo y al budismo, ya que existen testimonios de distintos tipos de mandalas en diversas culturas e incluso en la misma naturaleza (por poner un ejemplo: la más simple tela de araña es un estupendo mandala). 

Seguramente los más conocidos son los mandalas tibetanos de arena coloreada que algunos monjes budistas suelen elaborar desde el siglo VIII a.e. a pedido de determinados bienhechores con la intención de traer paz y armonía al mundo, a un lugar determinado o a un grupo de personas. Es significativo el hecho de que luego de su construcción y bendición, el mandala que ha exigido tanto tiempo y destreza es destruido como una forma de significar la futilidad de la vida presente y de promover el desapego. 

Los mandalas tienen en cuenta los elementos propios de la cultura y las creencias de quien los arma, y representan  fundamentalmente el intricado (y a veces enmarañado) sendero hacia la unidad del ser. El manda la puede ser un símbolo metafórico-parabólico de la naturaleza con sus ciclos estacionales y la sucesión  aparentemente ilimitada de días y de noches; puede representar la historia que es presente, fugaz, pasado huidizo y futuro incierto. 

¿ Cómo se pintan los mandalas? 

El mandala es construido desde el centro hacia el borde, coincidiendo con las teorías que explican el origen del universo como la explosión expansiva de un misterioso y perdido punto energético central originario. También puede decirse que representa el misterio de cada ser humano que -engendrado y nacido en la más absoluta precariedad- gracias a la ayuda de otros que lo apuntalan y asisten, debería ir "creciendo en sabiduría, en estatura y en gracia delante de Dios y de los hombres" a lo largo de toda su vida. 

En cambio, no hay una norma que establezca cómo se debe pintar un mandala ya bosquejado; algunos -siguiendo la lógica de su construcción- preferirán hacerla de adentro hacia afuera.

En este caso vamos a presentar "mandalas cristianos" porque la simbología de los gráficos que ofrecemos para colorear tienen que ver con el cristianismo.

PANES Y PECES

LA CRUZ DE SAN BENITO

LOS SIETE DONES DEL ESPÍRITU SANTO

MANDALAS DE NAVIDAD

OLIMPIADA MATEMATICA ARGENTINA

En este sitio el calendario completo de todas las instancias de la

OLIMPIADA MATEMATICA ARGENTINA

http://www.oma.org.ar/2011.htm

ALGUNOS LINKS PARA REVISAR Y AFIANZAR CONTENIDOS

Ya empezaron las clases.

Es hora de repasar algunos temas que viste el año pasado.

Si hay algún tema que te gustaría repasar y no lo encuentras en esta lista, escribe un comentario contándonos cuál es ese tema que en cuanto tengamos un sitio para que puedas ejercitarte, lo subiremos acá. ¡Gracias!

Números por dibujos Cálculos matemáticos simples, interpretar y comparar resultados de operaciones matemática.
Comparando cuentas Comparar números, operar con números, identificar series numéricas, cálculo mental
Sumas y restas Usa el coco: Para pensar y razonar. Algunos son "muy difíciles", pidan ayuda.
Un lugar para cada cual
Cuentas y sorpresas
Fracciones
Suma y resta con decimales
Cálculo mental

EL TANGRAM: UN EXCELENTE MATERIAL DIDÁCTICO

Gracias a un comentario que dejó alguien que visitó este blog, descubrimos esta excelente página en la cual, podemos jugar Tangram en 33 modalidades distintas y formar miles de figuras.
http://www.mallorcaweb.net/tangrampeces/inicies.htm

COMIENZA UN NUEVO CICLO LECTIVO

A todos mis colegas les deseo éxitos en este año escolar.

TETRAMINÓS

En el  tetraminos comúnmente llamado “tetris”: cada ficha está formada por CUATRO cuadrados congruentes, con, "al menos",  un lado en común. ¿Cuántos tetraminos distintos hay?

Propongamos a nuestros alumnos experimentar, manipular las piezas, registrar conclusiones. Además de "mirar" para poder "ver", es imprescindible reflexionar sobre lo que vemos.

Con 4 cuadraditos en línea, obtenemos una sola configuración:

Con 3 cuadraditos en línea:

Con 2 cuadraditos en línea:

Podemos asegurar que sòlo hay 5 tetraminos.

Actividades a realizar por los alumnos:
Contruye tu propio tetraminó utilizando papel cuadriculado.

A continuación describamos las figuras:

Sabemos que las fichas dibujadas anteriormente son: un cuadrilátero convexo y un exágono cóncavo, ¿Puedes describir las tres fichas restantes? 

Los pentominós son un material adecuado para estudiar de forma manipulativa las relaciones entre áreas y perímetros.

Comparemos, ahora, las áreas y perímetros de las figuras del tetris (suponemos 1 cm el lado de cada cuadrado). 

Puedes volcar la información en una tabla:

Responde: 

¿Cuál es la ficha de menor perímetro? ¿Y la de mayor perímetro?

¿Cuál es la ficha de menor área? ¿Y la de mayor área?

Crea figuras con las fichas construidas, sin dejar espacios entre ellas ni superponerlas.  Se trata de cubrir con estas piezas una parte del plano.  Dibuja el contorno de sólo 2 de las figuras creadas y entrégale éste gráfico a tu compañero.  ¿Podrá tu compañero, componer la figura? 

Sabemos que las 5 fichas juntas tienen un área de 20 cuadrados. ¿Puedes armar con las 5 fichas un rectángulo de 4X5?

  

Con dos pentominós construye figuras de perímetro mínimo. ¿Cuál sería ese perímetro?¿Y si utilizas 3 pentominós? Justifica tus respuestas

Ahora, te propongo que para que puedas seguir observando cómo podemos cubrir el plano con el tetrominó juegues al tetris

Bibliografía

Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. Mª. (1988). Materiales para construir la geometría. Madrid: Síntesis.

Álvarez, A. (1996). Actividades Matemáticas con Materiales Didácticos. Madrid: MEC-Narcea.

  

Hernán, F. y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis.

Sánchez, C. y Casas, I. M. (1998). Juegos y materiales manipulativos como dinamizadores del aprendizaje en matemáticas. Madrid: CIDE.

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS PARA LOS PRIMEROS GRADOS

Julián está enfermo y debe tomar 3 comprimidos por día.

Si la caja trae 12 comprimidos. ¿Para cuántos días le alcanza?

Si debe hacer el tratamiento durante una semana, ¿cuántas cajas deberá comprar? ¿Le sobrará algún comprimido?

A mirar el calendario..

¿Cuántos meses del año tienen un número par de días?

En una librería hay una estantería con 7 libros que se encuentran ubicados respetando el orden por lo que cuesta cada uno.

El primero vale $27.  El que está a su derecha cuesta $5 más que el anterior y así sucesivamente.

Carolina compró el sexto libro, ¿cuánto lo pagará?

SALUDOS NAVIDEÑOS

Abecedario para la Navidad

Agradecer a Dios el habernos regalado las personas con las que convivimos.

Buscar el bien común por encima de los intereses personales.

Dar lo mejor de uno mismo, poniéndose siempre al servicio de los otros.

Estimar a los otros sabiendo reconocer sus capacidades.

Facilitar las cosas dando soluciones y no creando más problemas.

Ganar la confianza de los otros compartiendo con ellos sus preocupaciones.

Heredar la capacidad de aquellos que saben ser sinceros con valentía y respeto.

Interceder por los otros a Dios, antes de hablarle de nuestras cosas.

Juzgar a los otros por lo que son, no por lo que tienen ni por lo que aparentan.

Limitar las ansias personales frente a las necesidades del grupo.

Llenarse con lo mejor que uno encuentra en el camino de la vida.

Mediar entre los compañeros que no se entienden.

Necesitar de los otros sin ningún prejuicio.

Olvidar el miedo al qué dirán dependiendo de la opinión de los demás.

Preocuparse por los más débiles o más necesitados.

Querer siempre el bien de las personas.

Respetar las opiniones de los demás, los derechos de las personas y de los animales.

Salir al encuentro del otro, no esperando que él dé el primer paso.

Tolerar los defectos y límites propios y ajenos con sentido del humor.

Unirnos todos para vivir en paz y armonía.

Valorarse con realismo sin creerse superior a los demás.

X es una incógnita que invita a la búsqueda constante de la verdad con mayúscula.

Yuxtaponer ilusiones y esperanzas, trabajos y esfuerzos por crear fraternidad.

Zambullirse sin miedo en el nuevo día que Dios regala cada mañana.

(basado en el texto publicado en la revista "Misión Joven" número 287 del colegio "Arrels" de Barcelona)